CINQUIÈME PARTIE. § IX. 2 %g 
fonction donnée. Nous ferons voir d’ailleurs qu’on peut déduire 
de ces développemens , quelques théorèmes assez remarquables sur 
les intégrales définies. 
-w- y y y» p • 771 Sin OC ? T'v? \ 
Exemple 1. boit tang^- = ————, a étant <1 i. 1) apres cette 
COS OC I 1 CL 
équation, on voit quej' augmente iudéfîniment avec x, et que ces 
deux variables coïncideront entièrement lorsqu’on aura x = o , 
7T , 9.7T , 3TT, etc. ; d’où il suit qu’on doit avoir en généralj-=x~j-(), 
6 étant une quantité périodique : c’est ce que le calcul suivant met 
tra en évidence. 
Au moyen des exponentielles imaginaires, l’équation donnée 
peut s’exprimer ainsi ; 
e n/->— e m ( e xs S~ l —e~ x y'~' ) 
e^-‘+ e-y^F 1 ë^P.^-be-^-' + a a* 
et on en tire 
e > y ^-i (i e xy ^~~ x + ( i — m ) e~ x ^~ x -f <ia 
( i -j- m ) é~ X V~ 1 + ( i — m ) e x ^~ 1 -}- aa 
Je décompose le numérateur en deux facteurs de la forme Ae xs ^~‘-f-B, 
A'e~ ±xy/ '~‘-f- B' ; et pour cela faisant h = — a -f- j/( cf -f- — i ) , 
g.yy'-i _ i i— ge-^-y 
i -\-fe~ x v'~ 1 ’ x — x ‘ 
Mais puisqu’on suppose a << i, il s’ensuit que .et g sont tous deux 
plus petits que l’unité ; donnant donc à cette équation la forme 
! 4- i. e~ xs C~ l 
çSyy'—i __ e axv^—1 . J 
i — ge~ x ^~ 1 
i — ge x ^~ l * 
et prenant les logarithmes de chaque membre , on aura, après 
avoir divisé par 2 \/— 1, 
(0 J== x +(â"-'j)sinx-{-i^ 2 -j-^)sin2X-j-^£' 3 —ÿr^sin3^-f-efc.,