CINQUIÈME PARTIE. § YI1I. ^
Dans cette intégrale , faisant x = ■ , et ensuite b — —, on
aura fx k ~ l dx(i +^)~ n ~ A = fz k ~'dz(i —< z)"” 1 , cette dernière inté
grale étant prise depuis s = o jusqu’à z = a. En même temps on
aura i + b =.(i — «)“* et (i + = (i —a)~ n ~ k+1 . Compa
rant donc l’équation précédente avec l’équation (2) qui contient la
même intégrale, on en déduira ce rapport remarquable :
(3)
*•» ' *' 9
. . Tl. 72—!— 1 „ ,
1 —f~ nu 4~ U -{-
n. n-f-i... n-\-h—2
1.2. . . k-
c’esl-à-dire qu’en faisant a =——r ou b — , la somme des k
premiers termes du développement de ( 1 4~^)' H " ?i- ' I j est égale à la
somme d’un pareil nombre de termes du développement de (1—à)~",
multipliée par (1 + b) k ~*.
Celte formule est susceptible d’en produire plusieurs autres en
changeant soit le signe de n, soit le signe de a.
I UQ. XLCJpi
(p (Ji^ — 1 —}— nu —|—
n. n-
■4- H-
n . 77-
1.2...k-~1
si à la place de k on met k 4- m, et qu’on prenne la différence
des deux fonctions, on aura
<p (k-\-m) — <p (/î) =
, n 1 . . . n /i-f-1
n . 77 1 . , . n li
1.2,
1.2... li-{-l
a k+1 +. . . .
n.n—i . . . .11 k 7774—2
4 — a
k+m—1 ,
y
1.2 li-\-m—i
substituant la valeur de (p donnée par Eéquation (1) } on trouve pour
îa somme de la série précédente
(i4-a) n rQ4-])
rkr(n—A-f 1)
■fx h i dx^l-\~x') n ~*•
(i4-g) w r(/i4-i) .
r(/i-f-7n)r(;7—k—m-j-iy
7-Hn—l
dx{\-\-x) n_1 ,
ces intégrales étant prises depuis x = o jusqu’à x — a.
Celte formule donne la somme d’un nombre quelconque de termes
consécutifs y pris dans le développement de (1 4“ a ) n .