CINQUIÈME PARTIE. § YI1I. ^ 
Dans cette intégrale , faisant x = ■ , et ensuite b — —, on 
aura fx k ~ l dx(i +^)~ n ~ A = fz k ~'dz(i —< z)"” 1 , cette dernière inté 
grale étant prise depuis s = o jusqu’à z = a. En même temps on 
aura i + b =.(i — «)“* et (i + = (i —a)~ n ~ k+1 . Compa 
rant donc l’équation précédente avec l’équation (2) qui contient la 
même intégrale, on en déduira ce rapport remarquable : 
(3) 
*•» ' *' 9 
. . Tl. 72—!— 1 „ , 
1 —f~ nu 4~ U -{- 
n. n-f-i... n-\-h—2 
1.2. . . k- 
c’esl-à-dire qu’en faisant a =——r ou b — , la somme des k 
premiers termes du développement de ( 1 4~^)' H " ?i- ' I j est égale à la 
somme d’un pareil nombre de termes du développement de (1—à)~", 
multipliée par (1 + b) k ~*. 
Celte formule est susceptible d’en produire plusieurs autres en 
changeant soit le signe de n, soit le signe de a. 
I UQ. XLCJpi 
(p (Ji^ — 1 —}— nu —|— 
n. n- 
■4- H- 
n . 77- 
1.2...k-~1 
si à la place de k on met k 4- m, et qu’on prenne la différence 
des deux fonctions, on aura 
<p (k-\-m) — <p (/î) = 
, n 1 . . . n /i-f-1 
n . 77 1 . , . n li 
1.2, 
1.2... li-{-l 
a k+1 +. . . . 
n.n—i . . . .11 k 7774—2 
4 — a 
k+m—1 , 
y 
1.2 li-\-m—i 
substituant la valeur de (p donnée par Eéquation (1) } on trouve pour 
îa somme de la série précédente 
(i4-a) n rQ4-]) 
rkr(n—A-f 1) 
■fx h i dx^l-\~x') n ~*• 
(i4-g) w r(/i4-i) . 
r(/i-f-7n)r(;7—k—m-j-iy 
7-Hn—l 
dx{\-\-x) n_1 , 
ces intégrales étant prises depuis x = o jusqu’à x — a. 
Celte formule donne la somme d’un nombre quelconque de termes 
consécutifs y pris dans le développement de (1 4“ a ) n .