187. 
5o4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
185. Les mêmes équations feront connaître, par des différen 
tiations répétées, les coefficiens différentiels des ordres ultérieurs. 
Ainsi Eéquation relative à la fonction P, donne successivement ; 
(a-« 3 )^ -f [3— (4 n +5K] J^r~ (4^ 2 + 12/1+2)0^- — (8/i 2 —2) P. = o, 
(fl-fl 3 ) J ri4 — (4 n 4- 8)a 2 ]— (477+2077+12) a (12/z 2 -f 12/z)^-~o, 
(«—a 3 ) -f [5—(4?!+11 )a‘] —(4^ 2 -L 28/1+2 8 ) « ^ — ( 16n*+52n+12) ~^=o, 
etc. 
Ces équations dont il serait facile de trouver l’expression générale , 
font voir que la série des coefficiens différentiels , 
d p 
-^j-,etc. peut être prolongée aussi loin qu’on voudra, et que 
chacun d'eux se déterminera toujours par les trois précédons. 
186. Connaissant les coefficiens différentiels delà fonction P,, 
on pourra en déduire ceux de P„ par les équations successives 
- + (/2,1 — 1) p,, 
. rfp, 
+ 2,1 AT’ 
742) <PP. d?P, . , , , <PP, 1 
(2»+ 2).^, 
etc. , 
équations dont la loi est manifeste. 
On peut aussi déterminer directement ces coefficiens, à compter 
du second ordre, par les équations successives 
O—fl^^r+C 1 —(4« 4- i)fl a ]^-—4« 2 flP 0 = o, 
dP 0 
dP t 
da 
~ ^ Ja ' 
ddP 0 
ddP t 
da? 
~~ a da 2 
d 3 P. 
„ d?P t 
da 3 
- da» 
d±P 0 
P t 
da 4 
~~ " d«4 
æv 
+p 
CÎPr 
(a—o 3 )--^+[2—(4« + 4)fl 2 ]-^°—(4fl 2 +877+2)a^— 4/z 2 P 0 = o , 
(43) & P rl 3 P rl' V 
(a fl 3 )-p^ h[3 (4« + 7) a G ¿^3°;—(4« 2 +i 877+1 o)a——(877^+877+2) „ 
(a a3 )~d^p 4 C4 (4fl4 1 (4fl E +24«+24)û-j~f ( 1 271 2 +24?7+1o , 
etc.