52 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
de sorte que la formule générale est démontrée a priori pour toute
valeur rationnelle de a.
(58). Pour revenir à la fonction , que nous pouvons re
présenter par TJ (a), on voit que les équations (G), (D), (E), etc.,,
ne font connaître aucune propriété particulière de celte fonction,
et qu’elles conduisent seulement à des formules relatives aux in
tégrales définies. 11 ne reste par conséquent à considérer d’autre
propriété de cette fonction, que celle qui est contenue dans
l’équation (16), et qui consiste en ce que, toutes les fois que a
sera rationnel, la fonction TJ (a) pourra toujours s’exprimer par
la constante —C jointe à une quantité qu’on peut toujours évaluer
par arcs de cercle et par logarithmes.
Nous avons traité fort au long des réductions qui peuvent avoir
lieu entre les fonctions logiez ou T{a), lorsqu’on donne à la
racine ci les valeurs successives -, -, - l -. Un semblable
n ? Il 7 n 11
problème n’a point lieu relativement aux fonctions TJ (a), puis
qu’elles sont toutes déterminables, ainsi qu’on vient de le dire.
Passons donc aux coefïiciens différentiels du second ordre ^jj~ 9
que nous désignerons semblablement par TJ'(a).
(5g). L’équation (i6) étant différenciée par rapport à p 3 donne,
en mettant a au lieu de p 3
dd l Ta
da 2
Développant la différentielle du second membre en série, et in
tégrant les différens termes d’après la formule de Part. 4° , deuxième
partie, on aura
ddIra i ( 1 f 1 , 4
~dJJT U {a-h O 2 + (a + 2) ¿ + elC *
Cette formule et celles qu’on pourrait en déduire par la difieren-
/
‘x a 1 dxl-
x
—X