SUPPLÉMENT. 5 
fondions elliptiques complètes F ] (c), E l (c), au moyen de la for 
mule de réduction que nous avons rapportée. 
La formule générale de la case Y se déduit de celle de la case IV, 
en mettant — £ au lieu de ct y et £7r—-a au lieu de €, ce qui 
ne change point la valeur du module c y ni par conséquent celles 
des fonctions complètes F^c), E'(c). 
Les formules de ces deux cases serviront à trouver en général 
la valeur des intégrales J'-ÿfijf tang sa a>, J'j^cot*"», et aussi celle de 
l’intégrale J* MN sin l” co > puisque ces diverses intégrales peuvent 
être décomposées en une suite finie de termes compris dans les 
cases IV et Y. 
CASE YI. 
(10). La même substitution dont on a fait usage dans les deux 
cases précédentes donne la formule 
/ 
du sin 2n &) 
“MÑ- 
cos a. sin £ * ( i — c 2 cos a Ét sin 2 ç)"A 9 
intégrale qui doit toujours être prise entre les limites (p 
<P — -In 
cette intégrale peut en général s’exprimer par les fonctions 
complètes F 1 ^), E l (c), IP(—c 2 cos 2 ct, c), au moyen de la formule 
de réduction rapportée dans la case YI, formule qui est déduite 
de celle de l’art. 9 , première Partie. On peut aussi substituer à la 
fonction de troisième espèce n 1 , sa valeur en fonctions de la pre 
mière et de la deuxième espèce, donnée par la formule du n° io5; 
celte valeur est (en supprimant le module c commun à ces fonc 
tions) 
n- (-C* cosV) = F 1 4- [F'E(i *r - a) _ Ë>F(iw - a)]. 
Si on observe ensuite que d’après l’équation i=&tang(^r—a)lang£, 
On a (n* 57) 
î*(i^r — a) rr-F 1 —F(£) 
E(|vr—flt) = E*— E(£)-}-c 2 cosc£ sin£, 
la valeur de IP pourra s’exprimer ainsi ;