SUPPLÉMENT. 3i 
On obtient ainsi pour les valeurs de ces intégrales, des expressions 
en fonctions elliptiques qui se transforment comme dans l’art. 10, 
et donnent les résultats consignés dans la table. 
(46). Ces mêmes résultats peuvent être obtenus d’une manière 
plus directe. Considérons pour cet effet la double intégrale 
-ff: 
dpdq sin p (A -f- B cos 2 /;) 
. / cos u q . \ 9 
cos> + sm>( + cos 2 ^ sm*q) 
dans laquelle les variables ont pour limites o et \tt. 
Si on exécute les intégrations d’abord par rapport à q , ensuite 
par rapport h p, et qu’on fasse c = on aura pour résultat 
Z = В Г— 4. e (c, g Л 
2 Ш1 2 Л 2 Sin 2 « ëin^'y 4 9 '_J 
+ 
2 sin £ sm 2 } 
«яг cos л sin £ 
[ A sin 2 ^ — B cos 2 ^] F (с, C). 
(47). Faisons maintenant les intégrations dans un ordre inverse, 
et soit cos p x=. x, nous aurons d’abord à intégrer la différentielle 
dV 
( A + Bx 2 ) dx 
x 1 m 2 ( 1 —x 2 ) * 
où Fon a 7n % = 4' cos *>' sin*^. Il faut pour cela distinguer deux 
cas, selon que m est plus grand ou plus petit que l’unité. Or je 
remarque que depuis sin <7:^=0 jusqu’à sin q === la valeur de 
m est plus grande que l’unité, et qu’on peut faire m = j mais 
depuis sin q = jusqu’à sin q = 1, on a 1, et il faut faire 
m = cos où. 
Soit, I e . 
т л = 
cos 2 » 
cos^q 
cos 2 « 
-b cos*^ sin 2 <7, on aura 
7 T, , ¿x(A4-Bx 5 ) 
«P = C0S 2 ü) . — 
1 — X 2 8Ш 2 » 
Intégrant depuis x = о jusqu’à ¿c = 1, et appelant P' celte première