§ I er . Usage des imaginaires dans la théorie des fonctions 
elliptiques. 
ni. Appelons Ç la fonction F (A:, <p) dont le module est k et l’ampli 
tude nous aurons réciproquement <p = Amp.%, ou, pour abréger, 
<p = A(f) et sin<p = sinSoit, comme dans l’art. 19, I er Suppl., 
sintp = i tang4s 1 étant mis pour 1/—• 1, la différentielle 
6T \/(i —Psm a <p) 
deviendra —, k f désignant le complément du module k; donc, 
si l’on fait o) == y^7(sin a >) — F (40? on aura car nous 
supposons que les intégrales Ç et ¿y sont prises à compter de <p=o et de -{•—o. 
Ainsi la fonction g = f-j-.—-f—.- . . et la fonction où = C——-i.— 
* J V{ 1 K SUl a (p) j l/(l-/£' s sin s ^)’ 
relative au module complémentaire k', se déduiront l’une de l’autre, au 
moyen de l’équation très simple g== «a, pourvu qu’entre leurs amplitudes 
ç et 4/ on ait l’équation sin (p = i lang 4, d’où résulte cos <p = 
^(1 —A:* sin 8 (p) = y/(i + A:* tang*40 = 
COS 4 7 
k' 2 sin* ou ... 
cos^^ 1 
*?)~ a 4)- 
Et parce qu’on a <p = .^(A:, £), 4,= ^(A 7 , ¿y), ces équations peuvent 
encore s’exprimer ainsi : 
sin ^(A:, ¿¿y) = étang A(Jé y ¿y), 
cos y^(A:, ¿¿y) = 
cos (£', ®) 7 
K fl • \ A (A y 
A (A:, i«) = ^ = 
V 7 ' COS ^ (A , a>) 
Tome III. 
sin i’, K'—-»)* 
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