92 FONCTIONS ELLIPTIQUES ,
ce qui donnera la valeur
x — sln^ (J 4- 4<tK 4- aa'iK' + ,
laquelle, en vertu des équations (4), se réduit à
(5) x = 5 ; n
De là on voit qu’il suffit de donner à m, ainsi qu’à ni', les valeurs
o, i, 2, 5...«—i, et la combinaison des n valeurs de l’une avec les
n valeurs de l’autre donnera rf valeurs différentes comprises dans l’ex
pression (5).
Donc, si l’on a F(Æ, £) = -F(Æ, <p), l’équation qui a pour racine sin£
sera du degré tï*, ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus,
pour le cas où n est un nombre impair. On voit, de plus, que l’équation
dont il s’agit aura toujours n racines réelles, et n*— n imaginaires.
ii6. Si n est un nombre impair, la valeur de sin<p s’exprimera ration-
P
nellement par sin£ ou x, de manière qu’on aura sin(p = x.^, P et Q
étant des fonctions paires de x du degré n a — i.
Si n est pair, on pourra supposer n=2 a p, p étant un nombre impair ou
l’unité. Alors la division delà fonction F (k, <p) en n parties égales exigera deux
opérations: l’une pour trouver l’amplitude 0 telle que F(Æ, 0) = ^F(Æ, <p),
ce qui se fera par les formules de la bissection, répétées autant de fois
que a contient d’unités; l’autre pour satisfaire à l’équation F(Æ, £) = - F(Æ, 0),
c’est-à-dire pour diviser la fonction F(Æ, 0) en un nombre impair p de
parties égales , ce qui se fera par la résolution d’une équation algébrique du
degré ou plutôt par l’application des théorèmes I et II du premier Sup
plément, qui réduit la résolution de cette équation à celle de deux équa
tions du degré p.
Et lorsque p sera un nombre composé, la résolution algébrique dont nous
parlons se simplifiera encore en l’appliquant successivement aux différens
facteurs du nombre p. Mais, dans tous les cas, il faut, de plus, supposer
connues les fonctions trigonométriques qui se rapportent à la division des
fonctions complètes K et K' en un nombre impair de parties égales. Beau
coup de recherches ont été faites sur ce point très difficile de la théorie ;
nous en donnerons le résultat avec tous les développemens nécessaires,
dans une autre occasion.
