2 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Le premier supplément, que je publie aujourd’hui dans cette vue, a pour 
objet principal les deux théorèmes généraux découverts par M. Jacobi. Le 
premier sera démontré par la méthode meme de l’auteur , publiée dans le 
n° 127 du Journal de M. Schumacher; le second sera d’abord déduit du 
théorème 1 er , et ensuite démontré d’une manière particulière et directe. 
Au moyen de ces deux théorèmes, j’ai pu traiter d’une manière complète 
tout ce qui concerne l’existence des différentes échelles de modules, expri 
mées en quantités réelles (*), et par suite tout ce qui concerne les transfor 
mations réelles, infiniment multipliées, dont est susceptible toute fonction 
elliptique donnée de première espèce. 
Lorsque deux fonctions de cette nature peuvent être exprimées l’une par 
l’autre, on peut supposer qu’elles appartiennent à la même échelle , et 
alors il existe entre leurs modules une équation très simple , quoique 
sous forme transcendante, laquelle tient lieu d’une équation algébrique, 
qui est en général d’une recherche très difficile. Cette équation transcen 
dante peut être regardée comme l’un des théorèmes les plus beaux et les 
plus féconds de cette branche d’analyse. J’en ai fait voir l’usage pour 
trouver avec beaucoup de facilité les différons termes, même les plus éloi 
gnés, d’une échelle de modules correspondante à un nombre donné. 
Après avoir épuisé tout ce qui a rapport à la transformation des fonctions 
elliptiques de la première espèce , il était naturel de s’occuper des fonc 
tions de la seconde espèce. Je démontrerai que ces fonctions sont suscep 
tibles de transformations analogues à celles de la première espèce , et en 
même nombre. Les formules sont plus compliquées, à raison de la quantité 
algébrique qu’elles contiennent; mais elles se simplifient beaucoup dans le 
cas des fonctions complètes, où la quantité algébrique disparaît. 
Je n’entrerai point dans d’autres détails sur les recherches assez nom 
breuses qui composent ce premier supplément; il sera terminé par l’appli 
cation des deux théorèmes de M. Jacobi aux cas de p = 3 et p = 5 , 
qui donnent naissance à la première et à la seconde des nouvelles échelles. 
Dans le second supplément et les suivans, s’il y a lieu, je continuerai 
d’exposer ce que les découvertes nouvelles offrent de plus remarquable , 
en y joignant mes propres observations et les développemens convenables. 
Paris, le 12 août 1828. 
(*) Le mot réelles est placé ici parce qu’il existe analytiquement des transformations 
imaginaires dont nous n’avons pas fait mention , et qui sont en bien plus grand nombre 
que les transformations réelles.