4 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
2. Pour parvenir à la démonstration de cette formule générale de trans 
formation qui s’applique à tout nombre impair donné p, il est nécessaire d’é 
tablir quelques dénominations nouvelles et quelques lemmes employés par 
M. Jacobi dans le nouveau genre d’analyse que nous avons à exposer. 
Soient en généra] F<p et F4 deux fonctions dont le module commun est 
A, et telles qu’on ait 
Fp + F4 = Fî7 et F<p — F4 = FO , 
on aura par les formules connues (u os 18 et 19, tome I) 
sin (p COS 4 \/(l ]p sin 2 4) + sin 4 COS V/’(I A“ sin a <p) 
1 — k 2 sm ç sm -p 
^ g sin<p cos4 VT 1 — A 2 sin 2 4) — sin 4 cos <p \/( 1—/P sin 2 ç>) # 
X — /i 2 sin 2 (p sin 2 4 
d’où résulte 
+ . r, 3 sin <p cos 4|/(i — k 2 sin 2 4) 
i — A 2 sm 2 <p sin 2 4 
. . fl sin 2 <p sin 2 4 
sm cr sm ü = 
donc 
( 1 —sincr)( 1 —sin B) = 
(p sin 2 4 
__ a _4) 
4 
1 — X; 2 sin 2 <p sin 2 4 
I —A 2 sin 2 (p sin 2 4 + sin 2 <p — sin a 4—2 sin (pcos 4 V/( 1 —A* sin*4 ) 
X — A 2 sin 2 <p sin 2 4 
Désignons par F4 et F^ 7 deux fonctions dont la somme soit égale à la 
fonction complète F'A, et soit k' le complément du module k, en sorte qu’on 
ait k* k' a = 1, on aura (n° 18, tome I) les équations 
. . cos 4' . k' sin 4’ 
sm 4 y'Çj —fc* s [ a » q/) ’ cos r ^/(i — ¿2 s [ n 2 q/) 5 
A' tang 4 tang 4 7 = 1 ? A’ /3 = (1 —A 2 sin a 4) ( l — A 2 sin’ 40* 
Au moyen de ces formules, la valeur du produit précédent devient 
/ . - An (ï—A 2 ) (sin 4" — sin<p) 2 
(, _ sm (1 _ sm 0) = ■ 
et il en résulte l’équation suivante 
/ sinipV 
V sin 4 / 
(3) 
sin 4 
■A 2 sin 2 <P sin 2 4 
(1 — sin a) (1 — sin ô) 
cos 2 4 
3. Appelons £ la fonction F (A , (p) ou l’intégrale J'prise 
à compter de q> — o. Si l’on fait sin <p = jc , il sera utile de considérer la 
fonction £ sous cette forme