4 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
2. Pour parvenir à la démonstration de cette formule générale de trans
formation qui s’applique à tout nombre impair donné p, il est nécessaire d’é
tablir quelques dénominations nouvelles et quelques lemmes employés par
M. Jacobi dans le nouveau genre d’analyse que nous avons à exposer.
Soient en généra] F
A, et telles qu’on ait
Fp + F4 = Fî7 et F
on aura par les formules connues (u os 18 et 19, tome I)
sin (p COS 4 \/(l ]p sin 2 4) + sin 4 COS V/’(I A“ sin a
1 — k 2 sm ç sm -p
^ g sin) #
X — /i 2 sin 2 (p sin 2 4
d’où résulte
+ . r, 3 sin
i — A 2 sm 2
. . fl sin 2
sm cr sm ü =
donc
( 1 —sincr)( 1 —sin B) =
(p sin 2 4
__ a _4)
4
1 — X; 2 sin 2
I —A 2 sin 2 (p sin 2 4 + sin 2
X — A 2 sin 2
Désignons par F4 et F^ 7 deux fonctions dont la somme soit égale à la
fonction complète F'A, et soit k' le complément du module k, en sorte qu’on
ait k* k' a = 1, on aura (n° 18, tome I) les équations
. . cos 4' . k' sin 4’
sm 4 y'Çj —fc* s [ a » q/) ’ cos r ^/(i — ¿2 s [ n 2 q/) 5
A' tang 4 tang 4 7 = 1 ? A’ /3 = (1 —A 2 sin a 4) ( l — A 2 sin’ 40*
Au moyen de ces formules, la valeur du produit précédent devient
/ . - An (ï—A 2 ) (sin 4" — sin
(, _ sm (1 _ sm 0) = ■
et il en résulte l’équation suivante
/ sinipV
V sin 4 /
(3)
sin 4
■A 2 sin 2
(1 — sin a) (1 — sin ô)
cos 2 4
3. Appelons £ la fonction F (A , (p) ou l’intégrale J'prise
à compter de q> — o. Si l’on fait sin
fonction £ sous cette forme
