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FONCTIONS ELLIPTIQUES 
^ 4 a j ysinajr—aÿ^sin^'+SySsinôj:—etc. w«e d®{q, x) 
7f I—2ÿCOS2a:+2^COç4 r 2ÿ9cos6x-4-etC. 2.K * &(q, x)dx 
Enfin, on a dans le même cas 
/A (/{, <p) A (k , «)\ T 
arc ta no ( - ) —~7T. 
° \ COt Ç COt et / a 
F(&,?)F(/é, «) 
"RR' 
= «(: 
A (£, <p) 
F (fi, p) 
<P)\ 
' / 
cot <p ■ " ’ KR' 
D’après ces valeurs, l’équation (77) donnera un nouveau résultat, savoir, 
TT d&(q, x) sr ûTT TT Y (k , q>) A{k, <p) 
2R ’ &(q,x)dx 2K * Tdx ‘ 2R ‘ K' cot <p 
Multipliant tous les termes par ^ dx, ou par —, on aura l’équation 
différentielle 
d®(q,x) dT 
dtp sin <p 
®{q,x) T aKR , F(Æ, (p)c?F(A:, <p)~ cQS( p , 
dont l’intégrale est 
(82) logT(r, x)~logcos(p = log0(^, x)4--^7F*(â:, <p) + C". 
Si l’on fait <p = o et x = o , on aura la constante 
g> r/ ■, 1—2r-f-2r*—2r^ -f - etc. , , R'Æ 
c = lo s 1 _ ag+agt _ 3 ^-+iE: = * lo s sr 
182. Si dans l’équation (82) on change les quantités k et (p en k' et et, et 
par suite les quantités q, r, x en r, q, a, respectivement, la fonction 
T(r, x) deviendra T(<7, «); de sorte qu’on aura 
( ici 2a\ ✓ 4 a 4«\ / 6a 6a\ 
q ,r + <7V+ <j\<j q\q ”~\-q 7r )+ele. : 
et cette nouvelle fonction sera déterminée par l’équation 
(83) logT(y, o) —logcos« = log©(r, a) + -~^-F*^', -)+î!og^. 
Si l’on substitue dans ces deux nouvelles formules les valeurs 
cos ? = (*-) 
h\ % A Q’ 37 4- 
e(q, x) 
cos 
-(f) - 
iy A (r, a + £*■) 
© (r, a) 
on aura 
K' 
logT(r, x)— log A( 9 , x + iTr) = p^F*(A, f) + t log g-, 
R 
log T {q, a) log A (r, « + 1^)— a)-f-i log ^ ;