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FONCTIONS ELLIPTIQUES,
dont l’erreur ne se fait sentir que dans les termes de l’ordre <p 8 . La parabole
osculatrice de cette courbe aurait pour équation y = ~, et son paramètre
serait égal à 2. Dans la parabole que nous avons tracée, le paramètre
A = zY'iijrJk ? ^ est ^ 2 l° rsf I ue ^ est très P et iL parce qu’alors on a
F'AE* A = ; et lorsque k = sin 45°, on a A = i. 9706. Ainsi on voit que
même à l’origine des abscisses, les deux courbes se touchent et sont presque
confondues, à moins que k ne soit très près de l’unité.
Maintenant il est aisé de voir comment, pour une valeur donnée de <p
moindre que on calculera la valeur approchée de l’intégrale Tcp. Si
l’amplitude <p est très petite, on aura Tcp = 4 cp*(1 -j- g A*cp a ^ , l’erreur
n’étant que dans les quantités de l’ordre cp 6,
192. Pour ramener à ce cas celui où l’amplitude cp a une valeur quel
conque moindre que |?r, il faudra, par les formules de la bissection, cal
culer les amplitudes cp', <p r/ , cp'", qui répondent aux fonctions £Fcp, JF<p,
jF(p, etc., et l’on parviendra bientôt à une amplitude cp“ assez petite pour
que l’on puisse négliger les quantités de l’ordre (cp^) 6 par rapport à (cp<“) a ,
ou les quantités (cp-“} 4 par rapporta l’unité. Arrivé à ce terme, où l’on a
immédiatement la valeur de T(cpp), on remontera de chaque amplitude à
l’amplitude supérieure, comme nous avons vu que l’on peut remonter de
l’amplitude cp à l’amplitude 4) ce qui se fait par la formule
t (4) = 4 t (<p) + i°g ( 1 —Æ a sin 4 <p).
La multiplication par 4 appliquée à la fonction Tcp pour en déduire
T (4), se répète autant de fois qu’il y a de termes dans la suite des am
plitudes calculées cp', cp", cp'", etc.; mais le degré de l’approximation, rap
porté à un terme fixe, est toujours mesuré par les quantités de l’ordre
O“) 4 -
193. Pour donner un exemple de ces calculs de bissection, supposons
qu’étant donné = ¿F'AE'A + f log Qq, on veuille avoir la fonction
Tcp qui répond à l’amplitude cp, telle que F<p z=z \ F*A; il faudra, dans les
formules de duplication , faire 4 — ? sin* ® , ce qui donnera
1 ■+■ k
