DEUXIÈME SUPPLÉMENT. x65 
On a désigné par x l’une quelconque des quantités oc t , x % , x^, oc, 
p ? 
si donc on fait successivement la même substitution pour toutes ces quan 
tités, et qu’on ajoute tous les résultats, leur somme pourra être ainsi 
exprimée : 
2 '/ J -£— — 2 (flarJ'fl.a: - fl.tfJ'S*). 
(r — et) vqx (x— etjPo;' 
Or, on va voir que l’opération indiquée dans le second membre fera dis 
paraître entièrement la variable x, pour n’y laisser que la variable y ; 
alors, en intégrant les deux membres, on aura, d’un côté, qui re 
présente la somme des intégrales è l ^x l + e^oc^ -f- € 3 -\oc z .. .-f- et 
de l’autre une fonction en y qui ne dépend que des coeificiens compris 
dans les fonctions Qx et 0 X x. 
19g. Désignons par Àoc la différentielle zJbc^xS^x — ^xS'èx); Àoc sera 
un polynôme en x, d’un certain degré k, dont les coeificiens seront fonc 
tions de y j ce polynôme pourra être mis sous la forme Xx=Àet-\-{x—et) X t x, 
À t x étant un second polynôme du degré k— 1 ; nous aurons donc 
XX 
= Aa2 
* « ^ ^ix 
(x — «)P' x P'jc’ 
mais on a 
{x— *)Vx 
P et s= {et — X t ) (et. — X a ) {et — X 3 ) .... {et — Xp) , 
et si l’on fait 
A y. 
± = _Ai_ 4. -Al- 4- —... + 
Pas et Xx et Xa et X3 
Xr 
les coeificiens A,, A, .,. étant indépendans de a, on aura A, égal 
à la valeur de - — ; lorsque ctv=x lf cette valeur = ; donc 
x et P Xi ' 
P a (et — Ar 1 )P'a: l (« — 
et réciproquement 
(« — *>)P'*M 3 
donc 
Xet 
x t x 
(« — a;)?'» 
^^ | 'M*» 
(X — et)Vx P et P'.r’ 
Pour avoir le second terme de cette formule, j’observe que si, dans la 
suite trouvée pour la valeur de on développe en série infinie chaque 
fraction 
, on aura