TROISIÈME SUPPLÉMENT. 
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§ III. Théorème général donné dans le § XII du deuxieme 
supplément. Classement et propriétés générales des trans 
cendantes comprises dans ce théorème. 
2i i. Les nombreuses applications que nous avons a faire du théorème 
donné dans le § XII du deuxième supplément, exigent que nous rap 
pelions ici j avec quelques developpemens, les formules generales par 
lesquelles il est exprimé. 
Désignons par 4^ l’intégrale J', dans laquelle fx et <px 
sont des fonctions entières de x, c’est-à-dire des polynômes en x d’un 
degré quelconque. Cette intégrale aura une origine constante, détermi 
née dans chaque cas particulier, de sorte qu’elle ne dépendra que de la 
variable x, qui est sa seconde limite. 
Il est inutile d’examiner ce que devient cette intégrale lorsque le po 
lynôme tpx ne passe pas le second degré; car on sait que, dans ce cas, 
elle peut toujours s’exprimer en partie algébriquement, en partie par 
arcs de cercle ou par logarithmes. Elle s’exprime par des fonctions el 
liptiques lorsque le polynôme <px est du troisième ou du quatrième de 
gré ; mais, passé le quatrième degré, elle désigne des transcendantes d’un 
ordre de plus en plus élevé. Toutes ces transcendantes jouissent d’une 
propriété générale, analogue à celle que nous avons trouvée pour les 
fonctions elliptiques dans les chap. IX et XVI du tome I er ; et c’est 
dans cette propriété que consiste le théorème dont les formules suivantes 
sont l’expression. 
2i2. Supposons d’abord que la fonction <px soit décomposée en deux 
facteurs réels <p,x et <p a x, en sorte qu’on ait <px = <p,x ,<p a x. Désignons 
ensuite par Qx et Q t x deux polynômes complets en x, ainsi exprimés 
( ôx ■= a a x x -j- a a x % -f- a„x n , 
1 ô r r = c -{- c,x -f- eje 1 - -f- c m x m , 
et supposons que ces polygones satisfassent, pour toute valeur de x, à 
l’équation 
(2) (6x) ü (p x x — (Q t x) a <p % x = (x — x x ) (x — x % ) (x — x 3 ). . .{x — Xy); 
il faudra donc que le premier membre, développé suivant les puissances 
de x, donne identiquement le même polynôme en x que produit le dé 
veloppement du second membre. 
(0