PREMIER SUPPLÉMENT. 
pour abréger 
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s’applique aux 
emière formule ; 
r se déduiront 
le l or , qui ser- 
cos <p. Ces for- 
sin 2 ç 
sin 2 1 
¿ 2 sin 2 <p sin 2 «p_» ’ 
sin 2 <P 
sin 2 «P-.a 
7 2 sin 2 (p sin 2 «a 
sin ^ = i tang r, 
Sin 2 o' I-f-COt 2 eip_ 1 Sin~o' 
4 sin 2 ®-* * * i -j- cot 2 <», sin 2 (T ’ 
. „ GOS s cíp—i . 
— smV I --Sin V 
Sin 
_4 ... 
^sinV I -f- cot 2 u t sin 2 «•’ 
£ 3 • 5 . COS 2 «fp— a . 
— Sin I ; SinV 
_3 SUI 2 «a 
i3sin 2 <r i-j-cot 2 *p_*slnV’ 
tude r se déduira 
il en résulte que 
negale, et parvien- 
litudes sont égales 
e on voit, très sim- 
alogie très remar- 
nombre impair p, 
l’une d’après le module k, l’autre d’après son complément k'. La première 
étant formée, il suffit de prendre les complémens des différens termes pour 
former une seconde échelle qui marche en sens contraire de la première, 
comme on le voit ici : 
i).... k S9 k % , k t , k, h, h t , Ti% , h 3 .... (o 
o).... k' 3 , k\, h f , h' t ,h'„ 7/(i 
Dans l’ordre naturel de la première échelle, on passe du module k au mo 
dule plus petit h, au moyen de l’équation F(Æ, <p) = piF (h, «^), et en em 
ployant la formule qui exprime sin en fonction de sin (p. 
Une opération semblable se fait dans la seconde échelle, pour passer du 
module k' au module plus grand 7г', au moyen de l’équation 
F [k 1 , cr) = pCF(Ji', r) et de la formule qui détermine sin r par sin a. Dans 
les deux cas, le régulateur p, est le meme, et les mêmes auxiliaires a m ser 
vent à former les équations des amplitudes. 
La première échelle sert aussi à passer du module k au module plus 
grand k t , de celui-ci au module plus grand 7r a , ainsi de suite; mais alors 
l’opération est plus compliquée, parce que chaque amplitude ne peut se 
déduire de la précédente que par la résolution d’une équation du de 
gré p. Une pareille difficulté se rencontre dans l’échelle des complémens, 
quand il s’agit de passer du module k r au module plus petit k\, de celui- 
ci au module plus petit k\, etc. 
2i. Puisqu’on a en même temps crzzzi'rt et r = {7r, la formule 
F {k'y = /¿F (Ji\ r) donne , dans ce cas ? F‘7:' = //F‘7/, ou pi = ^ ? 
en désignant par R' et H' les fonctions complètes F l k r et F l h'. Mais, par 
la formule du théorème I er , nous avons déjà trouvé K=^H; donc on 
a, en général, 
(>7) ÎT 
Cette équation entre deux modules consécutifs k et /¿, qui appartiennent 
à l’échelle construite pour le nombre impair p, est un théorème fort re 
marquable, dont nous ferons connaître ci-après les nombreux usages. 
Nous observerons seulement ici que ce théorème s’accorde avec les pro 
priétés déjà démontrées dans les n os 76 et 190 du tome 1 er , relativement 
à l’échelle ancienne des modules et à celle qui répond au nombre 3, 
22. Le théorème 11 de M. Jacobi, auquel nous voulons parvenir, est déjà 
écrit dans les équations (i5) et (16); il ne s’agit plus que d’y changer quel- 
3..