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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
* K H 
quation ^ — qui a lieu pour le module k, on déduit immédiatement 
K' 
i H' 
l’équation ^ jp, qui se rapporte au module k\ en renversant l’ordre 
des termes, ce qu’exprime le changement de p en Examinons mainte 
nant deux cas particuliers très remarquables. 
5y. Supposons premièrement Æ = sin 45°, on aura kz=zk\ et par con- 
IF 
séquent p = |p. Or, p étant donné, il existe toujours une équation algé 
brique entre les deux termes consécutifs k et h ; et si l’on met dans cette 
équation la valeur £ = on en tirera la valeur de h, qui satisfait à l’é- 
H/ 
quation transcendante p — g-, et qui peut être considérée comme une fonc 
tion de p, algébriquement déterminable. Dans la même hypothèse, puisque 
k' = k y l’échelle des complémens sera la même que celle des modules, 
mais dans un ordre inverse; d’où il suit que l’échelle, pour le nombre p , 
sera alors de la forme 
i). ... h' 3 , A' a , h\ , h', sin 4^°, h , h x > h % , ,... . (o 
c’est-à-dire que les termes également éloignés du terme moyen sin 45° se 
ront complémens l’un de l’autre ; tels sont h et h!, h x et h\, etc. 
58. Supposons, en second lieu , que dans la même équation algébrique dont 
on vient de parler on fasse h=zk' — [/(1 — k a ) ; on en déduira une valeur 
de k ? laquelle ne dépendra que du nombre /?, qui est l’indice de l’échelle. 
Mais puisqu’on a, dans cette hypothèse, h = k', on aura aussi h' — k ; et 
par conséquent il y aura entre les fonctions complètes de semblables éga 
lités , c’est-à-dire qu’on aura H =: K' et H' == R ; donc l’équation..., 
^ =p §7 donnera =p, ou =v/>. 
Dans le premier cas, l’équation des modules nous a fourni la valeur 
H 
du module h, qui satisfait à l’équation transcendante ^p, en faisant 
k = [/j- 
Dans le second cas, la même équation, dans laquelle on fait 
h = y/{\ — k a ), donnera la valeur du module k , qui satisfait à l’équa 
tion transcendante ' — Vp• 
Mais si dans les deux échelles complémentaires du n° 56 on fait A'= k, 
la partie croissante de l’échelle inférieure, savoir, k, h\ , /é a , h ! 3 , 
coïncidera avec la partie croissante de l’échelle supérieure, savoir, k ,