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FONCTIONS ELLIPTIQUES,
sont toujours complémens l’un de Fautre ; elle jouit meme de cette propriété
d’une manière exclusive : car on peut démontrer que, dans toute autre
échelle, on ne trouvera jamais deux termes qui soient complémens l’un
de l’autre.
Une autre particularité attachée à cette échelle, est que l’équation trans
cendante ^7= VV ^ ? qui la caractérise, ne paraît pas susceptible d’être
représentée par une équation algébrique entre les deux termes consé
cutifs m et «, quoique les deux échelles dont elle est composée, l’une
construite d’après le module sin 45°, l’autre d’après le module k, déter
miné en fonction de p, appartiennent toutes deux à l’indice /?, et soient
soumises, par conséquent, à la loi algébrique qui lie entre eux deux termes
consécutifs.
6o. On a un exemple de l’échelle unique dont l’indice est \/p , pour
le cas de /7 = 2, qui est celui de l’ancienne échelle, dans la réunion des
deux échelles formées n° 77, tome I er , lesquelles donneraient, suivant les
dénominations précédentes,
k' = \/2 — 1, k=\/(2\/2—2), hz=. 3 — 2^/2, // =z 2 (\/ 2 — 1)1/2.
M N
Cette échelle satisfait à l’équation —, =^/2.-^7 ; mais dans ce cas , le plus
simple de tous, on ne voit pas quelle serait l’équation algébrique qui
pourrait avoir lieu entre deux termes consécutifs de l’échelle : on sait seu
lement que, pour les termes alternatifs tels que n et n % , n x et n 2 , on a
n = et n x = Si l’on fait donc n — 4 (n.) , 4 désignant une
fonction inconnue, il faudrait déterminer cette fonction de manière qu’elle
satisfît à l’équation
i 1
3(4^) 2 1 / \
x + 4(*)‘—VJ+V
Un second exemple de l’échelle unique se trouve, pour le cas de p = 3,
dans la réunion des deux échelles données n os 192 et ig3 du tome I er ;
elles s’accordent avec la forme générale du n° 5g, en faisant k — siny5 0 ,
Ti _ •„ Ko tj F 3 ^ 1/2 — v/3 ,, f / 1
k = sin 10 , h — j ? h — - 1 ; et I on a généralement pour
deux termes consécutifs m et n l’équation = \/3. Cette échelle est
remarquable par ses trois termes moyens, qui sont sin 75% sin 45°,
sin i5°.
