FONCTIONS ELLIPTIQUES,
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ment les échelles qui se rapportent aux nombres premiers 3, 5, y, etc. : et
la combinaison de ces échelles avec l'échelle ancienne, dont l’indice est 2 ,
va nous fournir des résultats infiniment plus nombreux que tous ceux que
nous avons déjà obtenus. Nous allons prouver, en effet, qu’on peut cons
truire une échelle particulière de modules, non - seulement pour tout
nombre entier, mais même pour tout nombre rationnel proposé.
63. Supposons, par exemple, qu’on veuille former une échelle pour le
nombre 3o = 2.3.5. Prenant toujours k pour le module donné, appe
lons h le module qui suit k dans l’échelle ancienne ou dans l’échelle n° 2 ;
prenons de même, dans l’échelle n° 3, les deux termes consécutifs h et f,
et dans l’échelle n° 5 les deux f et g. Ces trois échelles seront indi
quées partiellement, pour faire connaître l’ordre des termes, comme il
suit :
Échelle n° 2 , termes consécutifs k , h. ,.. (o
3 h, f.... (o
n* 5 /, g (o
D’après les propriétés des fonctions complètes correspondantes, on aura
R H H__~F F ~ G
r ,_=2 h/ , F —0 G ,;
il en résulte ^>==3o^. Ainsi, g sera le module qui doit suivre k dans
l’échelle n° 3o, en cette sorte
Échelle n° 3o, termes consécutifs k, g.... (o
Dans l’échelle n° 2, on connaît l’équation entre les modules k: et h • cette
équation est k = Dans l’échelle n° 3 , l’équation entre les modules
h 7 fe t leurs complémens h', J' est {/(hf) -|- \/{h'J y ) = 1 ; dans l’échelle
n* 5, on connaît l’équation entre j et g, que nous donnerons ci-après.
Au moyen de ces trois équations, on pourra former l’équation entre k
et g• ce sera l’équation des modules qui répond à l’équation transcen-
iv G
dante —, = 3©^,, et qui servira à calculer algébriquement tous les termes
de l’échelle dont l’indice est 3o.
On formera semblablement l’équation entre les sinus des amplitudes par
la combinaison des trois équations analogues qui ont lieu dans chacune
des échelles 2 , 3 , 5 : c’est ce qu’il serait inutile d’expliquer ici avec
détail; car on voit bien qu’il s’agit de possibilités, et non de calculs ef
fectifs.
