72 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
89. L’opération inverse, qui consiste à trouver <p par le moyen de ¿y, ou 
x par le moyen de z, s’exécutera, soit par la résolution des deux équations 
trigonomélriques 
tang i {a 4- 4) = l -±f- tang 4 , tang i (4 ““ <P) = tang <P , 
soit par la résolution des deux équations du 3° degré, 
f/j 3 — zj* + jr — fi'z = o, 
¡UX 3 JX* X -J- fJLJ = o. 
Ainsi l’équation (72), qui est du 9 e degré lorsqu’il s’agit de déterminer x 
par z, peut se résoudre par le moyen de deux équations du 3 e . 
90. Occupons-nous maintenant de la formule qui sert à la tranforma- 
tion de la fonction de seconde espèce E(/t', <p); il suffira d’appliquer la 
formule générale du n° 74, dans laquelle nous substituerons les valeurs de 
k, h et 4? données en fonctions de /¿, n° 82 : et d’abord, comme on a 
_ (* + 0 3 (3f-Q __ , 3^-f 6^-i 
l6fe 3 3 16^ ’ 
on en tire —7— = 
dp 
zkdk 3(i— 
16^ ’ dk 3(i—p*) 
__ (* f 6 ) (9P _“=_0. De là résulte la formule 
24 P* 
ou 
hdp 
~dk' 
3ik^p^ ' j ^ kh'^dp 
dit 
: 3(7=47 
k*k ,% 
( 7 3) E(*, <p)=iE(h, 4) - F(*,+) + V. 
6p 
Pour avoir la quantité algébrique Y, il faut commencer par calculer 
db 
dit 
au moyen de l’équation tang £ (4 — <p)= tang <p , qui donne immédia 
tement 
dp f« a 
tang <p 
4 sin <p cos p 
,+ (V) ta<?> 
On trouvera ensuite, après quelques réductions, 
4p? — (1 -f- p) (3p — 1) sin 3 <p" 
Y = 
{l p) {Zp—1) sin Ç) COS <P[/(ï — P sin 3 <p) 
Gp 
) sin • 
4.« 
Si l’on fait <p = ^7r, ce qui donne 4 = 1^ , on aura la fonction complète 
(74) E"A = - E'A — <* —i-Kfo + O F'k 
V ' p 2 p 
91. En opérant par les formules du second théorème, on trouverait