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sempre in un punto P pure variabile, e le rette l ed m 
hanno per limite le rette distinte l 0 ed m 0 , che si incon 
trano in P 0 , il punto P ha per limite P 0 . 
Infatti, siano A e B due punti della retta l aventi per limiti i 
punti A 0 e B 0 di l 0 . Poiché i punti ABP e A 0 B 0 P 0 sono in linea 
retta, si possono determinare due numeri x e x 0 tali che AP = xkB, 
e A 0 P 0 = £c 0 A 0 B 0 . Per determinare effettivamente questi numeri, 
siano CD due punti della m aventi per limiti i punti C 0 e D 0 di m 0 . 
Poiché i punti CDP e C 0 D 0 P 0 sono in linea retta, sarà CD.CP = 0, 
e G 0 D 0 .C 0 P 0 = 0. Ora, poiché CP = AP — AC = ¿rAB — AC , l’equa 
zione CD.CP = 0 , si può scrivere 
¿cCD.AB — CD.AC = 0 , 
la quale determina il numero x come rapporto di due aree. In 
modo analogo x 0 è determinato dalla equazione 
^ 0 C 0 D 0 .A 0 B 0 C 0 D 0 .A 0 C 0 = 0. 
Si passi al limite; poiché i punti A B C D hanno per limiti A 0 
B 0 C 0 D 0 , le aree CD.AC e CD.AB hanno per limiti C 0 D 0 .A 0 C 0 e 
C 0 D 0 .A 0 B 0 , e di queste la seconda non è nulla, poiché, per le ipotesi 
fatte, i segmenti C 0 D 0 e A 0 B 0 sono nè nulli nè coincidenti in dire 
zione. Quindi il rapporto x delle due prime aree ha per limite il 
rapporto x 0 delle seconde; e poiché AB ha per limite A 0 B 0 , si 
deduce limAP — limxAB = a? 0 A 0 B 0 = A 0 P 0 , e siccome A ha per 
limite A 0 , il punto P ha per limite P 0 , c. v. d. 
Teorema. V. — Se le rette l ed l 0 passano per un punto 
fisso 0, ed l ha per limite l 0 , il minimo angolo compreso 
fra le rette l ed ¿ 0 ha per limite zero, e viceversa. 
Invero, sia A 0 un punto di l 0 distinto da 0, e A 0 A la sua distanza 
da l ; e sia 0 il minimo angolo compreso fra le rette l ed l 0 . Si 
avrà in valor assoluto A 0 A = OA o .sm0. Quindi se l ha per limite 
l 0 , lini A 0 A = 0, e quindi lini senti = 0. Viceversa se Uniti = 0, sarà 
limk 0 k = 0, e quindi la distanza d’ogni punto di l 0 da l ha per 
limite zero, ed l ha per limite l 0 .