i3o THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
Le potentiel Y envisagé sons sa forme ordinaire 
est manifestement proportionnel à u ; mais, envisagé sous la 
forme (1), il se compose de deux termes, dont le premier est 
proportionnel a a; le second, X, doit donc l’être aussi. 
Cela posé, considérons encore Y sous la forme (2) ; dans l'in 
tégrale du second membre, jjl est un nombre, ds' et r sont des 
longueurs; si l’on multiplie toutes les longueurs par un même 
ds' 
nombre, le rapport ne change pas, Y ne change donc pas non 
plus. Par conséquent, quelle que soit la forme de son expression, 
le potentiel Y doit être homogène et de degré zéro par rapport 
aux longueurs qu’il contient ; par exemple, si on l’exprime, 
comme dans la formule (i), en fonction de p et a, il ne doit con 
tenir que le rapport de ces deux longueurs. 
D’après tout cela, V doit être nécessairement de la forme sui 
vante : 
(3) V = — 2 p log — + Kp., 
cl 
K étant un nombre, indépendant par conséquent des quantités p, 
a et [j.. 
Pour achever le calcul de Y, il nous reste à calculer K. 
Nous nous servirons pour cela des résultats établis antérieure 
ment (17 et 18 . Soit Mj le point où MM 0 perce de nouveau la 
circonférence ; posons : 
o = MM„ 
et appelons cp (p,o) l’inverse de la moyenne arithmético-géomé- 
trique de p et Z ; on a (18) : 
V = 2 T:p.acp(p, ù). 
Considérons le plan P, perpendiculaire au plan de la circonfé 
rence et passant par M t M 0 ; prenons ce plan P comme plan du 
tableau (fig. 42). Si le point M sort du plan primitif et se déplace 
dans P sur une deuxième circonférence, tracée dans ce plan du