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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
Voici une application. Supposons que l’on ait : 
lv|<K f ", 
K étant une certaine constante positive. On peut écrire : 
m<4?” +p 
quel que soit p. Prenons : 
K 
On est clans le cas signalé plus haut. D où : 
+ p 
pour toute valeur positive de p. Dans ce cas, on a : 
^ = X 0 +pX 1 -f- + p n X„+S -Y 
pour toute valeur de p supérieure à p 0 . La valeur principale de V 
a l’infini est alors : 
X 0 + pXj -+- + p n X n ; 
c’est un polynôme. 
Si la fonction V est en outre harmonique et régulière à l’inté 
rieur de S 0 , on a simplement : 
V = X 0 + pXj -j- p 2 X 2 + -f- p"X n 
et alors Y est un polynôme. 
Si enfin V est une fonction harmonique régulière dans tout 
l’espace, sauf à l’infini, et si l’on a : 
1V | < K, 
on voit que V se réduit à une constante X u . C’est là un théorème 
analogue à celui qui est connu sous le nom de Liouville dans la 
théorie des fonctions analytiques d’une variable imaginaire. 
96. Autres remarques. — Soit une fonction V harmonique