RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DI RI C II LE T 287 
Sachant résoudre le problème de Dirichlet pour la sphère, nous 
savons former la fonction U. 
O11 a évidemment : 
u^w^w 0 
en tout point M de T. Mais, quand M tend vers M 0 , U et W 0 
tendent vers la même limite. Il en est donc de même de W. 
Ainsi W prend sur S les mêmes valeurs que W 0 
Finalement, on a : 
A\Y = ()... dans T 
W = W 0 ... sur S 
pourvu que S ne présente aucune singularité. 
132. P osons maintenant : 
Y — P —W 0 +W. 
On a : 
^W 0 = AP 
AW = 0. 
D’autre part, il est manifeste que Y prend sur S les mêmes valeurs 
• pie le polynôme donné P. 
Le problème de Dirichlet est donc résolu dans le cas particu 
lier où nous nous sommes placés. Mais nous savons que le théo 
rème de Harnack permet de passer de ce cas particulier au cas 
général. Donc le principe de Dirichlet est complètement établi. 
133. Nous avons supposé : 
AP < 0 
dans Q. Cela ne restreint pas la généralité. En effet, 011 peut 
toujours écrire : 
P = l\-P 2 , 
les polynômes P t et P., étant choisis de façon (pie l’on ait : 
APj < 0, AP,<0.