POTENTIEL LOGARITHMIQUE D'UNE CIRCONFÉRENCE il 
ce qui exige que l’on ait : 
et, par suite, 
Y 
12. Potentiel logarithmique d’une circonférence. — Soit une 
circonférence attirante homogène, dont le centre est à l’origine 
des coordonnées. Proposons-nous de calculer le potentiel loga 
rithmique Y en un point M de son plan. Remarquons que Y est 
une fonction de deux variables seulement, x et y, et qu’à l’inté 
rieur comme à l’extérieur de la circonférence, cette fonction 
satisfait à l’équation de Laplace : 
(4) 
Y-Y 
Ox 2 
0 2 V 
w 
ü. 
Dans le cas particulier qui nous occupe, la circonférence étant 
homogène, Y ne dépend (pie de la distance p du point attirant 
au centre. Nous pouvons alors transformer l’équation aux dérivées 
partielles (4) en une équation différentielle linéaire et du second 
ordre. On a en effet : 
0 2 V 
Ox 2 
•> 
0“ = 
1 
= x 2 + y 2 , 
OV 
dV x 
Ox 
dp p ’ 
OY 
dV y 
Oy 
dp ? ’ 
dY 
*\ 
x 0 /dV' 
. d ? 
7/ 
l 
ii 
1 °- 
h 
X 2 
d 2 Y 
dV / 1 
0 “ 
dp 2 
^ d? V .0 
dV 0 
dp ôx 
d’où : 
0 2 V y 2 d 2 V 
1 clv (' 1 
Oy 2 p 2 dp 2 
dp \ p 
0 2 V ô 2 V 
d 2 V 
Ox 2 1 Oy 2 - 
' do 2 
1 dY 
do