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THÉORIE DU POTENTIEL NE WTO NIE N
Ajoutons ces trois dernières relations, membre à membre; il
vient :
d 2 V 2 clV
AY=
dp 2
do
L’équation (1) devient donc :
cl 2 V 2 dV
dp*
dp
0.
Nous avons remplacé l’équation aux dérivées partielles par une
équation différentielle linéaire du second ordre. Or nous con
naissons deux intégrales particulières de cette équation ; ce
sont :
et
V = 1
L’intégrale générale est donc :
v=JL.
A+
B
Y et B étant des constantes.
Calculons A et B.
a
car, clans
dans l’in-
Au centre, le potentiel doit être égal à
tégrale j*p'^-, r est égal à a, rayon du cercle. Donc, pour
0, Y doit se réduire à
M
A = —, B
a
, ce qui exige que l’on ait :
0,
et ce qui nous montre que le potentiel est constant en tout point
. , . , , , M
intérieur et égal a .
& a
Voyons ce qui se passe pour un point extérieur à la sphère.
En tout point extérieur, l’équation (2) est vérifiée et le potentiel
est encore de la forme (3), les constantes A et B n’ayant pas la
même valeur que dans le cas précédent. Calculons ces nouvelles
valeurs; pour cela, remarquons que, si p augmente indéfiniment,
on a :
Lira pV=M,