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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
Si la surface S est convexe, le problème a été résolu. Nous 
allons montrer qu’il peut l’être encore avec les hypothèses que 
nous avons faites. Cela peut sembler paradoxal, car les inégali 
tés qui ont joué un role essentiel au chapitre VIII ne sont plus 
vraies quand la surface S n’est plus convexe. Néanmoins la mé 
thode de Neumann réussit encore, et de plus il est probable 
qu’elle s’applique même dans le cas le plus général. 
165. Les intégrales J m . — Considérons l’intégrale : 
r —f( m ' ° Wk i ° Wi DWk i 0Wi ^Mi_ 
1 k J[T) \ Ox Ox ôy ôy Oz Oz / 
étendue à tous les éléments de volume d^ du domaine T intérieur 
h S. 
Considérons de même l’intégrale: 
y = f /OW, 0W k 0W } 0W k OW. _dW L \ dT 
l,k JiT 1 } \ Ox Ox Oy Oy Oz Oz / 
étendue à tous les éléments de volume dT du domaine T ; exté 
rieur a S. 
En vertu des hypothèses faites, chacune de ces intégrales a un 
sens bien défini. 
Appliquons la formule de Green pour le domaine T en ce qui 
concerne J¡ t et pour le domaine C en ce qui concerne J¡ k . 
On a : 
en remarquant que : 
dVt dV k 
dn dn ’ 
puisque W k est un potentiel de double couche. 
Dans les formules précédentes, dto désigne un élément de S