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THEORIE DU POTENTIEL NE W TONIE N 
est convergente pour | p [ < |. Calculons l’erreur commise quand 
on arrête le développement au (n i)° terme ; posons : 
A = Pq - ! - ^i? "d - ^-2?’ “d" + d n p n + Il„ ; 
l’erreur cherchée est moindre que |R n [ ; or : 
I R„ | <p n+1 + p n+2 + , 
c’est-à-dire : 
P n+I 
Les coefficients P sont des polynômes entiers en cosy; leur 
degré est égal à leur indice ; P n est de degré n. Ces polynômes 
sont connus sous le nom de polynômes de Legendre. 
Les polynômes de Legendre sont alternativement pairs et 
impairs en cosy. Pour le voir, il suffit de changer, dans A, y en 
y -f- tc et p en — p ; A ne change pas et, par suite, un terme 
quelconque P n p n de la série reste le même; donc P„ ne doit pas 
changer de signe et, par conséquent, doit être pair, si n est pair; 
il doit, au contraire, changer de signe, et par suite, être impair 
en cos y, si n est impair. 
23. Développement du potentiel newtonien en série de poly 
nômes sphériques. — Les considérations qui précèdent vont trou 
ver leur application dans l’étude du potentiel newtonien.