Die Entwicklung von tgx, Übungen 
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gleich 0 sind. In diesen Fällen kann man an Stelle des Kettenbruchs die aufein 
anderfolgenden Beziehungen (80), S. 196, zugrunde legen, die sich immer durch- 
T 
rechnen lassen. Als Wert des Kettenbruchs sehen wir dann den Quotienten — an. 
s n 
Bei den im Text vorkommenden Kettenbrüchen sind stets alle a v (v = 1, 2, . ..) 
von 0 verschieden, und deshalb können r n und s n nicht gleichzeitig 0 sein. Also 
hat der Kettenbruch dann immer einen bestimmten Wert, wenn wir noch festsetzen, 
daß dieser Wert für r n =j= 0, s n = 0 gleich „unendlich“ ist; das bedeutet dann ein 
fach, daß sein reziproker Wert gleich 0 ist. 
3. Im Text nannten wir einen unendlichen Kettenbruch dann konvergent, wenn 
seine Näherungsbrüche — konvergieren. Man kann diesen Begriff der Konvergenz 
s n 
noch dahin erweitern, daß man einen unendlichen Kettenbruch auch dann konver 
gent nennt, wenn die Reziproken der Näherungsbrüche eine Nullfolge bilden. Dann 
kann man gewissermaßen von einem „unendlich“ großen Wert des unendlichen 
Kettenbruchs reden. 
Wie kann die Folge der Näherungbrüche eines solchen Kettenbruchs aussehen? 
Wo ist bei den weiterhin im Text betrachteten besonderen Kettenbrüchen dieser 
Fall möglicherweise vorgekommen ? 
4. Warum genügt zur Ausführung des Grenzübergangs in Formel (84), S. 206, 
nicht die Kenntnis der Beziehung (85), S. 206, allein? 
5. Man überlege sich, daß alle Funktionen der in Nummer 4 vorkommenden 
Paare: f x (x), g x (x); f\(x\ g 2 (x); f 3 (x), g 3 (x); ... bereits in der Reihe f x (x), 
f 3 (x), . . . enthalten sind, und daß zwischen drei aufeinanderfolgenden Gliedern der 
Folge f n {x) die Beziehung 
besteht. Was ergibt sich hieraus für das gleichzeitige Verschwinden von zwei auf- 
f (x) 
einanderfolgenden Gliedern? Was bedeutet das für die Quotienten —— - und für 
gn \ x ) 
die Berechnung von Q n ? Können die Funktionen f n (x) bei gegebenem x und ge 
nügend großem n überhaupt gleich 0 sein? 
Vierundzwanzigster Abschnitt. 
Trigonometrische Reihen. 
1. Wir kehren noch einmal zu den im zweiundzwanzigsten Abschnitt be 
handelten unendlichen Reihen zurück. Zur Auswertung von Funktionen durch 
solche Reihen hatten wir in Nummer 5 dieses Abschnitts angenommen, 
daß die einzelnen Reihenglieder von der Form a n • x n sind. So entstanden 
die Potenzreihen. Mitunter erweist es sich jedoch auch als vorteilhaft, 
andere einfache Funktionen zur Bildung der Reihenglieder heranzu 
ziehen. Hier liegt es zunächst nahe, die trigonometrischen Funktionen 
sin x und cos x zu nehmen. Allerdings beschränkt man sich dann bei der 
näherungsweisen Berechnung von Funktionen nicht mehr ausschließlich 
auf die Verwendung von Grundrechnungsarten; aber da die Werte der 
trigonometrischen Funktionen, weil sie auch sonst sehr oft Vorkommen, mit 
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