24. Trigonometrische Reihen 
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Übung 4, S. 114): 
2 n 2 n. 
^cos 2 nc • de = n und j sin 2 nc • de = jc 
o o 
für jede natürliche Zahl n folgt daher 
2 n / N 
(97) J[s N (c)) 2 • de = n • i ^ ^ 
0 \ n = 1 
+ 
Führen wir die Werte aus (96) und (97) in (95) ein, so wird 
2 71 2 7t 
f(h{c) — s N {c)f • de =j(h(c)f 
de — 2 • 7t 
N 
=/(*(«))* 
de 
l +2( A * + s ») 
n = 1 
+'- 1 • (f +2( a »+ 
\ n = 1 / 
N 
4! 
2 
1 +2^» + B ”) ä/(/i(<;)) 2 • do. 
Da hier linker Hand das Integral über einer nirgends negativen Funktion 
steht, so ist die linke und damit auch die rechte Seite der letzten Gleichung 
eine positive Zahl oder allenfalls 0. Wir erhalten also 
/ N \ 2n 
(98) *• (j 
Diese Ungleichung gilt für jede beliebige natürliche Zahl N. Lassen 
wir N alle natürlichen Zahlen durchlaufen, so ist die Folge auf der linken 
Seite von (98) monoton zunehmend. Nach (98) ist sie aber auch (nach 
rechts) beschränkt, da die rechte Seite von (98) gar nicht mehr von N 
abhängt. Deshalb konvergiert die Folge; es konvergiert daher die unend 
liche Reihe, die aus den Quadraten der Fourierkoeffizienten A n und B n 
gebildet ist (bei A 0 kommt nur das halbe Quadrat vor), und für ihre 
Summe gilt 
(99) 
- 5 +_N (Ai + Bi) ä i •f(Mc)J ■ de. 
Diese Beziehung nennt man die JBesselsche Ungleichung. In ihr ist als 
Sonderfall das enthalten, was wir beweisen wollten; denn insbesondere 
ergibt sich aus (99), daß das Quadrat jedes einzelnen Fourierkoeffizienten 
(bei A 0 das halbe Quadrat) höchstens gleich der rechten Seite in (99) ist. 
Demnach ist der absolute Wert jedes Fourierkoeffizienten höchstens gleich 
der Wurzel aus der doppelt genommenen rechten Seite von (99), und die 
Beträge dieser Koeffizienten sind mithin tatsächlich beschränkt. (Aus (99) 
folgt sogar, daß die Fourierkoeffizienten eine Nullfolge bilden.)