24 5. Rechnen mit Zahlenfolgen 
von diesen Betrachtungen schon gelegentlich Gebrauch gemacht: z. B. 
ließen wir in der Folge (2) der Inhalte J n in der Nummer 4 des ersten 
Abschnitts, S. 4, die Anfangsglieder J x und J 2 hei der Ausführung des 
Grenzübergangs fort, und das gleiche gilt für die dortige Folge B n und 
schließlich für die Folge (7) der Nummer 3 des vierten Abschnitts, S. 17, 
hei der q 1 fehlte. 
2. Wir können das vorstehend Gesagte noch dahin erweitern, daß man 
in einer beschränkten und konvergenten Folge mit dem Grenzwert £ so 
gar unendlich viele Glieder in beliebiger Weise weglassen kann, sofern 
nur darauf geachtet wird, daß noch unendlich viele übrig bleiben. Auch 
dann ist die restliche Folge wieder noch beschränkt und konvergent mit 
dem Grenzwert £, da außerhalb jeder s-Strecke nach wie vor nur höch 
stens endlich viele und innerhalb derselben unendlich viele Zahlen liegen 
müssen. So konvergiert z. B. die Folge (7) aus Nummer 3 des vierten Ab 
schnitts, S. 17, ebenso und gegen denselben Grenzwert wie die Folge (G) 
der Beispiele auf S. 6. Wenn man aus einer Folge endlich oder unendlich 
viele Glieder derart streicht, daß noch unendlich viele Glieder übrig bleiben, 
so nennt man deren Gesamtheit eine Teilfolge der ursprünglichen, und wir 
haben damit das Ergebnis, daß jede Teilfolge einer beschränkten und gegen 
£ konvergierenden Folge selbst beschränkt ist und gegen £ konvergiert. 
3. Sind x x , x 2 , ■.x n , ... und y x , y 2 , ..., y n , ... zwei beschränkte und 
konvergente Folgen, die den gleichen Grenzwert £ besitzen, so ist auch 
diejenige Folge beschränkt und konvergent mit dem Grenzwert £, die aus 
sämtlichen Zahlen x n und y n zusammengenommen besteht, wobei es auf 
die Reihenfolge gar nicht ankommt. Ist z x , z 2 ,..z n ,... diese Gesamtfolge, 
so muß also jedes z entweder ein x oder ein y sein, und sowohl jedes x 
als auch jedes y muß genau einmal in der Folge der z Vorkommen. 
Betrachtet man eine e-Strecke mit £ als Mittelpunkt, so liegen außer 
halb derselben nur endlich viele x und nur endlich viele y, also auch nur 
endlich viele z. Die übrigen unendlich vielen z befinden sich in der 
s- Strecke, und daher konvergiert die Folge der z gegen £. 
4. Eine beschränkte und konvergente Folge, die gerade den Grenzwert 
0 besitzt, heißt eine Nullfolge. Wenn z x , z 2 , ..z n , ... eine Nullfolge ist, 
so muß auch \z x \, ¡£ 2 |, ..., \z n \ } ... eine Nullfolge sein. Dies ist klar, 
denn die zweite Folge geht aus der ersten hervor, indem man die mög 
licherweise auf der negativen Halbgeraden liegenden Punkte z n am Null 
punkt auf die positive Halbgerade spiegelt. Dadurch werden aber Punkte, 
die vor der Spiegelung in einer a-Strecke mit dem Nullpunkt als Mittel 
punkt lagen, in derselben verbleiben, und Punkte, die sich vorher außer 
halb dieser Strecke befanden, werden dies auch nachher tun. Der gleiche 
Gedankengang führt zum Nachweis, daß auch das Umgekehrte gilt: Wenn 
die Folge | z x j, | z 2 \, ..., | Z n \, . eine Nullfolge ist, so trifft dasselbe für 
die Folge z 1} z 2 , zu. Wir finden demnach: Eine notwendige und 
hinreichende Bedingung dafür, daß z 1} z 2 ,..z n , ... eine Nullfolge ist, 
besteht darin, daß j z x j, j z 2 j,..., \z n \, ..., eine Nullfolge ist. 
5. Ist 
Folge, s 
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Grenzwe 
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