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7. Rechnen mit Zahlenfolgen 
7. Sind nun x x , x 2 , . ■., x n , ... und y lf y 2 , ..., y n , ... zwei beschränkte 
konvergente Folgen mit den beziehentlichen Grenzwerten £ und y, so ist 
auch die Folge x x + y x , x 2 + y 2 , ..., x n + y n , ... beschränkt und konver 
gent mit dem Grenzwert £ + y. Denn schreiben wir diese Folge so: 
{x x + 1?) + {y-i — ri), (x 2 + rj) + (i/2 — y), ■ ■ ■, {%n + y) + (y n — y), ■ ■ •; 
und berücksichtigen wir, daß nach Nummer 5 die Folge x x + y, 
x 2 + y, . . x n + 7j, ... beschränkt ist und gegen | + y konvergiert und 
daß nach derselben Nummer die Folge i/i — y, y% — y, . . y n — y, . . . 
eine Nullfolge ist, so können wir das Ergebnis von Nummer 6 anwenden. 
Dies liefert aber sofort die gewünschte Behauptung. 
Damit haben wir das Ergebnis: Wenn man aus zwei beschränkten kon 
vergenten Folgen mit den Grenzwerten | und y dadurch eine neue Folge 
bildet, daß mau entsprechende Glieder der gegebenen Folgen addiert, so 
ist auch die neue Folge beschränkt und konvergent, und zwar mit dem 
Grenzwert £ + y. Dafür pflegt man häufig wesentlich kürzer, aber auch 
wesentlich weniger streng zu sagen: Der Grenzwert der Summe (von zwei 
Folgen) ist (vorhanden und) gleich der Summe der Grenzwerte (der ein 
zelnen Folgen), oder in Form einer in Zeichen geschriebenen Gleichung: 
lim (x n + y n ) = üm x n + lim y n . 
U = oo n — oo n = oo 
Übrigens haben wir von diesem Satz im ersten und vierten Abschnitt 
in Wahrheit schon oft Gebrauch gemacht. Wenn wir z. B. beim Grenz 
übergang in Formel (2), S. 4, aus 
lim cos 
n — oa 
a 
n 
= 1 
und 
lim cos 
n = oo 
a = cos a 
schlossen, daß 
lim (l + 
cos 
cos 
i 1 -») 
cos a 
j = 2 • (1 — cos a) 
ist, so liegt darin eine Anwendung des jetzt erst streng bewiesenen Satzes, 
und zwar gleich für vier Summanden: 
lim (l + 
n = 00 ' 
cos 
cos 
b-i) 
a — cos a 
— lim 1 + lim cos -- + lim !~— cos il —- ] • a j + lim [— cos er] 
Xi. == flC ^. = 00 ^ Xi. — OO ^ ' —* n. = nc 
= 1 + 1 — cos a — cos a 
= 2 • (1 — cos a). 
Das gleiche gilt beim Grenzübergang in derselben Formel und in Formel (1), 
S. 2, für die Ermittlung der Grenzwerte 
und bei den Grenzübergängen des vierten Abschnitts.