Summe und Differenz von Folgen 27 
... zwei beschränkte 
verten t, und rj, so ist 
ischränkt und konver- 
r diese Folge so: 
+ v) + (Vn — y),-- ■, 
die Folge %i + y, 
; + rj konvergiert und 
— y,---, Vn — y,--- 
Nummer 6 anwenden. 
wei beschränkten kon- 
lurch eine neue Folge 
len Folgen addiert, so 
t, und zwar mit dem 
ich kürzer, aber auch 
der Summe (von zwei 
■ Grenzwerte (der ein- 
riebenen Gleichung: 
und vierten Abschnitt 
wir z. B. beim Grenz- 
a = cos a 
= 2 • (1 — cos ff) 
mg bewiesenen Satzes, 
• a I + lim [— cos ff] 
J n =oo 
mel und in Formel (1), 
) 
ts. 
8. Wir betrachten wieder eine beschränkte und gegen £ konvergierende 
Folge z 1} z 2 , . . ., z n , . . . Dann ist auch die Folge — z 1} — z 2 , ..., — z n , ... 
beschränkt und konvergent, und zwar mit dem Grenzwert — £. Dies ergibt 
sich sofort daraus, daß die zweite Folge aus der ersten durch Spiegelung 
am Nullpunkt der Zahlengeraden hervorgeht. 
Sind x x , x 2 , . . x n , . .. und y 1} y 2 , ..., y n ,. .. zwei beziehentlich gegen 
| und y konvergierende beschränkte Folgen, so ergibt sich, weil nach 
dem eben Festgestellten auch die Folge —y 1} —y 2 , • ■ - , —y n > • • • be 
schränkt und konvergent mit dem Grenzwert — rj ist, unter Benutzung 
des Ergebnisses von Nummer 7: 
lim (x n — y n ) = lim [x n + (—//«)) 
U = oo 7l = oo 
= lim x n + lim (— y n ) 
71 = oo 71 = <x> 
= £ + (— y) 
= b — y- 
Es gilt daher auch der Satz, daß der Grenzwert der Differenz (von zwei 
Folgen vorhanden und) gleich der Differenz der Grenzwerte (der einzelnen 
Folgen) ist: 
lim (x n — y n ) — lim x n — lim y n . 
U = co 7l = oo n = oo 
9. Es sei wiederum z x , z 2 , . . ., z n ,. . . eine beschränkte und gegen £ 
konvergierende Folge. Ist dann z eine beliebige positive Zahl, so erweist 
sich auch die Folge z-z lf z-z 2 , ..., z • z n , ... als beschränkt und konvergent 
mit dem Grenzwert z • £. Dies ist richtig, weil die sämtlichen Punkte dieser 
Folge aus den entsprechenden der ursprünglichen durch eine ähnliche 
Veränderung auf der Zahlengeraden im Verhältnis 1: z hervorgehen, wo 
bei sämtliche Entfernungen £-mal so groß werden. Liegen also in einer 
s- Strecke mit dem Mittelpunkt £ unendlich viele Zahlen der ursprüng 
lichen Folge und außerhalb von ihr nur endlich viele solche Zahlen, so 
befinden sich in einer Strecke von der halben Länge z • s und dem Mittel 
punkt £•£ unendlich viele Zahlen der neuen Folge und außerhalb von ihr 
nur endlich viele Zahlen derselben. Da aber s ganz beliebig war, insbe 
sondere beliebig klein sein konnte, so ist auch z • s ganz beliebig, insbe 
sondere kann es beliebig klein sein. Noch anders ausgedrückt: Will man 
in bezug auf die neue Folge eine Strecke von der ganz beliebigen halben 
Länge s' und dem Mittelpunkt z • £ daraufhin prüfen, ob sie unendlich 
viele Zahlen der neuen Folge im Inneren enthält und nur endlich viele 
außerhalb, so konstruiere man in bezug auf die ursprüngliche Folge die 
Strecke von der halben Länge l und dem Mittelpunkt £; da diese tat 
sächlich unendlich viele Zahlen der ursprünglichen Folge im Inneren ent 
halten muß und nur endlich viele im Äußeren, und da sie bei der ähn 
lichen Veränderung auf der Zahlengeraden in die Strecke mit dem Mittel-