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6. Rechnen mit Zahlenfolgen 
12. Es sei noch einmal z x , z 2 , z n , ... eine beschränkte konvergente 
Folge mit dem Grenzwert £. Wir wollen voraussetzen, daß es keine Null 
folge ist (£ 4= 0). Wir bilden dann die Folge , , . . wobei 
z n aber nur die Glieder der gegebenen Folge bedeuten soll, die nicht 
gerade 0 sind, da man nicht durch 0 dividieren kann. Solche von 0 ver 
schiedenen z n muß es in unendlicher Anzahl geben, da sonst £ entgegen der 
Voraussetzung gleich 0 wäre. Die so entstehende Folge 1 nennen w'ir die 
z n 
Folge (A 7 ) und behaupten, daß auch sie beschränkt und konvergent, und 
zwar mit dem Grenzwert ~ ist. Da £4= 0 ist, hat £ einen von 0 verschie- 
denen Abstand /' vom Nullpunkt der Zahlengeraden. Wenn wir nun mit 
£ als Mittelpunkt eine s-Strecke konstruieren, deren halbe Länge s gerade 
gleich — ist (Fig. 22), so liegen in derselben unendlich viele z n und 
O—f/2 
außerhalb von ihr nur endlich viele. 
■ *■ Lassen wir diese endlich vielen z n 
aus der ganzen ursprünglichen Folge 
fort, so entsteht eine Teilfolge mit 
demselben Grenzwert £ (s. Nummer 1, S. 23), für deren sämtliche Glieder 
z n ! =4 i , also insbesondere z n 4= 0 ist. Berechnen wir zu diesen z n die 
Fig. 22. 
Reziproken —, so kommen dieselben daher sämtlich in der Folge (-F) vor, 
z n 
und es genügt nach Nummer 1, S. 23, wenn wir den Beweis für diese Teil 
folge von (F 7 ) erbringen. Betrachten wir nun eine s-Strecke mit £ als Mittel 
punkt, deren e < { ist, so liegen in derselben unendlich viele unserer 
jetzt in Rede stehenden z n und außerhalb von ihr nur endlich viele. Bei 
den zu den unendlich vielen z n gehörigen Reziproken * prüfen wir, wie weit 
z n 
sie von „ abstelien. Nun ist aber 
. Da | z n — £ ^ e ist, 
I _ .1 LJ z n— g 
£ z n ! £ ■ z n 
und da man ferner einen positiven Bruch vergrößert, wenn man den Nenner, 
während er positiv bleibt, verkleinert, so folgt aus \ z n \ ^ und £| — /’, 
daß 
1 1 8 2 £ 
— < v = - „ ist. Mithin befinden sich die sämtlichen be- 
£ \ ~ , f t 
trachteten / innerhalb einer Strecke mit j als Mittelpunkt, deren halbe 
%n o 
2 • 8 
Länge gleich ist. .Außerhalb dieser Strecke können daher höchstens 
1 2*8 
endlich viele unserer — liegen. Da auch hier ~-- 2 mit e beliebig klein ge- 
z n T 
macht werden kenn, ist unsere Behauptung bewiesen. 
Die Voraussetzung, daß £ =j= 0 ist, mußten wir machen, damit wir -r- 
bilden konnten, da eine Division durch Null unmöglich ist. Wenn diese