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6. Rechnen mit Zahlenfolgen 
sitzen, und man faßt eine dritte Folge z x , z’ 2 , . ins Auge, von 
der man weiß, daß jedes z n zwischen den entsprechenden x n und y n liegt, 
in Zeichen: x n 5g z n ^ y n oder y n 5g z n 5g x n , je nachdem x n 5g y n oder 
y n ^ %n ist, s0 kann man schließen, daß auch die dritte Folge beschränkt 
sein und ebenfalls gegen £ konvergieren muß. Denn beschreibt man eine 
beliebige ¿-Strecke mit £ als Mittelpunkt, so liegen von einer gewissen 
Nummer N x an alle x n in derselben (s. zweiter Abschnitt, Nummer 5, S. 8), 
und ebenso liegen von einer gewissen Nummer N 2 an alle y n in der 
¿-Strecke. Natürlich können diese Nummern A r x und JS T 2 wieder ver 
schieden sein; das haben wir schon durch die Bezeichnungsweise zum 
Ausdruck gebracht. Wenn wir aber die größere der beiden Nummern 
nehmen, so liegen von dieser an sowohl alle x n als auch alle y n innerhalb 
der ¿-Strecke. Dann müssen aber von dieser Nummer an auch alle z n 
sich in der ¿-Strecke befinden, und deshalb liegen unendlich viele z n 
innerhalb der ¿-Strecke und nur endlich viele außerhalb von ihr. Daher 
ist auch die Folge z n beschränkt und konvergent mit dem Grenzwert £. 
Das soeben Bewiesene haben wir ebenfalls bereits im ersten Abschnitt 
wesentlich benutzt. Denn dort betrachteten wir die Folgen cos -- und 
— 1 —, die beide gegen 1 konvergierten, und eine dritte Folge B n , von 
cos 
n 
welcher wir nach der Beziehung (3), S. 4, wußten, daß jedes B n zwischen 
den zugehörigen cos - und —-— liegt. Daraus schlossen wir damals, daß 
cos — 
n 
der Grenzwert der Folge JB n vorhanden und ebenfalls gleich 1 ist. Das 
ist erst jetzt in aller Strenge gerechtfertigt. 
Wir wollen im folgenden in der Aussage: „Eine Folge ist beschränkt und 
konvergent“ zur Vereinfachung stets den Teil „ist beschränkt“ fortlassen. 
In dem Ausdruck „eine Folge ist konvergent“ soll ihre Beschränktheit 
immer stillschweigend enthalten sein. 
Übungen. 
1. Die auf die Summe und das Produkt von zwei konvergenten Folgen bezüglichen 
Regeln der Nummer 7, S. 26, und der Nummer 11, S. 29, gelten in entsprechender 
Weise auch dann, wenn es sich um die Summe oder das Produkt von mehr als 
zwei konvergenten Folgen handelt (und in dieser Weise wurden jene Regeln von 
uns ja auch schon benutzt). Man beweise dies in aller Strenge. 
2. Wenn die sämtlichen Punkte einer konvergenten Folge einem spiegelbildlich 
zum Nullpunkt gelegenen Intervall mit der halben Länge d angehören, so liegt 
auch ihr Grenzpunkt in diesem Intervall (s. auch Nummer 10, S. 28). Man beweise 
dies völlig strenge. 
Aus | z n | <g d folgt also \ lim z n j 5S d. Es ist jedoch zu beachten, daß auch dann, 
; n = oo 
wenn alle z n dem Inneren des genannten Intervalles angehören, der Grenzpunkt 
sehr wohl mit seinem einen Endpunkt zusammenfallen kann. Aus \z n j <C d folgt 
demnach auch nur I lim z n I gg d. 
\ n = oo I