6. Nochmals Flächeninhalte 
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Sinus gleich x ist. Kürzen wir den Sinus in der bekannten Weise 
durch sin und Arcus entsprechend durch arc ab, so können wir die eben 
gemachte Aussage in die kurze Form y — arc sin x kleiden, wobei fest 
zuhalten ist, daß hier lediglich die Abkürzung eines längeren Satzes 
durch ein Zeichen vorliegt. Übrigens gehört streng genommen zu einem 
bestimmten Sinus von der Größe x nicht nur ein Bogen, sondern un 
endlich viele, die sämtlich den gleichen Sinus von der Größe x besitzen. 
Dies zeigt sich geometrisch darin, daß die Ordinate im Punkte x der 
x- Achse die in Rede stehende Kurve unendlich oft schneidet. Wir erhalten 
bereits sämtliche möglichen Sinus, wenn der Bogen alle negativen und 
positiven spitzen Winkel durchläuft; dazu gehört das Stück der Kurve 
y = arc sin x, das vom ersten Punkte unter der x-Achse auf der Geraden 
x = — 1 bis zum ersten Punkte über der x-Achse auf der Geraden x = + 1 
geht. 
Wir ermitteln jetzt den Inhalt der Fläche, welche von diesem Kurven 
stück, der x- Achse und der Ordinate im Punkte x — a(0 < a ^ 1) be 
grenzt wird (Fig. 25). Die Ordinate selbst habe die Größe b. Dann ist der 
Inhalt der Fläche OBC nach Gleichung (I), S. 4, gleich 1—cos 6, und 
wir müssen diesen Inhalt von demjenigen des Rechtecks OABC subtra 
hieren, um den gesuchten Inhalt J der Fläche OAB zu bekommen: 
J = a-h — (1 — cos b). 
Nun ist einmal & = arcsina. Dann aber ist auch cos 6=yT — sin 2 b } 
und weil a = sin b ist, folgt cos b — ]/l — a 2 . Mithin ergibt sich 
(YI) J = a- arc sin a + j/l — a 2 — 1. 
3. Wir wollen schließlich noch einen weiteren Flächeninhalt nach der 
früheren Methode der Annäherung durch Rechteckfiguren bestimmen, da 
bei aber die Breite der einzelnen Rechtecke in einer Weise festlegen, die 
von der früher benutzten wesentlich verschieden ist. Zu diesem Zweck be-