nten Weise 
vir die eben 
wobei fest- 
igeren Satzes 
men zu einem 
sondern un- 
« besitzen. 
Punkte x der 
Wir erhalten 
legativen und 
der Kurve 
der Geraden 
•aden x = + 1 
esem Kurven- 
< a 5S 1) be- 
Dann ist der 
— cos &, und 
ABC subtra- 
commen: 
|/l — sin 2 b , 
sich 
nhalt nach der 
bestimmen, da- 
festlegen, die 
em Zweck be- 
l 
y = arc sin X y — —===: 
V i — x 2 35 
trachten wir die Kurve y = 1 , wobei wir die im Nenner vorkom- 
y y l — x 2 
mende Wurzel stets positiv genommen denken. Zunächst darf x nicht 
größer als + 1 oder kleiner als — 1 sein, da sonst 1 — « 2 negativ würde 
und die Wurzel nicht mehr ziehbar wäre. Daher verläuft die Kurve in 
demselben Ebenenstreifen wie die Kurve y = arc sin x. Ferner ist sie 
spiegelbildlich zur «/-Achse, da für + x und — x derselbe Wert von y 
entsteht. Für x = 0 ist y = 1. Bei Annäherung von x an + 1 oder — 1 
wächst y über alle Grenzen, so daß sich die Kurve den beiden Geraden 
x — + 1 und x = — 1 beliebig anschmiegt (Fig. 26). Wir nehmen die in 
der Figur verzeichnete Fläche, die von unserer Kurve, der x-Achse und 
der zu x = a (0 < a < 1) gehörigen Ordinate be 
grenzt wird. 
Früher teilten wir zur Inhaltsbestimmung die 
Strecke von a bis 0 auf der «-Achse durch Teil 
punkte, deren Abszissen eine arithmetische oder 
eine geometrische Reihe bildeten. Mit einer solchen 
Methode würden wir hier schwerlich zum Ziel ge 
langen, wie ein Versuch lehrt. Wir haben jedoch 
ein ausgeprägtes Beispiel dafür vor uns, daß eine 
nach gan« anderen Gesichtspunkten vorgenommene 
Einteilung mitunter wesentlich vorteilhafter sein 
kann. Wir verfahren folgendermaßen: Es werde 
der Bogen der Kurve y = arc sin x konstruiert, der 
den Nullpunkt mit dem Punkte x = 1, V — 
verbindet (Fig. 27). Mit dieser Hilfskurve bringen 
wir die zur Abszisse x = a gehörige Ordinate im 
Punkte E zum Schnitt. Der Fußpunkt des von E auf die «/-Achse 
gefällten Lotes sei F. Wir teilen dann die Strecke OF in n gleiche 
Teile, ziehen durch die Teilpunkte Parallelen zur «-Achse, schneiden 
diese sämtlich mit der Hilfskurve und fällen von den so entstehenden 
Kurvenpunkten die Lote auf die «-Achse. Deren Fußpunkte sollen als 
Teilpunkte der Strecke OA genommen werden. Wir wählen also die 
Einteilung von OA so, daß zwar nicht die Abszissen der Zwischen 
punkte, aber die zugehörigen auf die Hilfskurve y = arc sin« be 
zogenen Ordinaten eine arithmetische Reihe bilden. Letzten Endes kann 
natürlich nur der Erfolg diese an und für sich sonderbar scheinende 
Wahl der Teilpunkte rechtfertigen. Immerhin werden wir jedoch gleich 
einen wesentlichen Grund für die getroffene Festsetzung erkennen. Zu 
nächst stellen wir noch fest: Wenn der Abstand - 1 -• OF zweier benach- 
n 
harter Teilpunkte auf OF dadurch beliebig klein wird, daß n über alle 
Grenzen wächst, wird auch der Abstand der am weitesten voneinander 
entfernten Zwischenpunkte auf OA (das sind die beiden ersten) beliebig 
klein. 
x 
3