gellenden Nummern n lassen wir beim Grenzübergang fort. Dies ist nach 
Nummer 1 des fünften Abschnitts, S. 23, möglich. Wenn wir aber die Nenner 
verkleinern, während sie noch positiv bleiben, dann vergrößern wir die 
Brüche, die ebenfalls ihr Vorzeichen behalten. Lassen wir umgekehrt in 
den Nennern die Subtrahenden tg v • ™ • tg ~ ganz fort, so vergrößern 
wir sie. In diesem Falle werden also die Brüche verkleinert. Daraus erhellt, 
daß die doppelte Ungleichung besteht 
% l 1 <J n <tg~ 
1 + 
n — 1 
1 — tg &i • tg 
h 
Nun ist 
lim n 
n — oo 
und 
lim tg 
&i 
1 + 
1 — tg ft, • tg 
tg — = lim 
n „ 
= b 1 
= lim 
U = oo 
h 
n 
+ 
h 
(‘-4M 
«• tg 
V 
■ tg 6, • tg 
= &i. 
Dann folgt jedoch wieder nach der Nummer 14 des fünften Abschnitts, 
S. 32, daß auch lim J n = b x ist. Da \ = arc tg a ist, ergibt sich schließlich 
(VIII) 
J = arc tg a. 
Wieder wird demnach der Inhalt unserer Fläche gerade durch den Wert 
der Ordinate unserer Hilfskurve gegeben, die auf der rechten Begrenzung 
der Fläche liegt. Da bei über alle Grenzen wachsendem a die Größe arc tg a 
sich dem Werte — beliebig nähert, besitzt auch hier die unbeschränkte 
Fläche, welche von der Kurve y — —, der #-Achse und der Ordinate 
im Punkte x = 0 berandet wird, den bestimmten Inhalt Sie ist der am 
Schluß der Nummer 3 angegebenen Fläche inhaltsgleich. 
5. Wir haben in den Nummern 2 und 4 dieses Abschnitts die Glei 
chungen y = sin x und y = tg x nach x aufgelöst und dann x und y 
vertauscht. Auf diese Weise entstanden die Beziehungen y = arc sin x 
und y — arctg#. In entsprechender Weise kann man die Gleichungen 
y = cos x und y = ctg x behandeln und erhält dann die Ausdrücke 
y = arc cos« und y = arc ctg x. Man überlege sich den Verlauf der 
zugehörigen Kurven! Die Funktionen sin«, cos«, tg«, ctg« heißen 
trigonometrische Funktionen, da sie bei der Dreiecksberechnung eine