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Übungen, Abzählung 41 
wesentliche Rolle spielen. Ihre Umkehrfunktionen arc sin x, arc cos x, 
arc tg x, arc ctg x nennt man zyklometrische Funktionen, weil sie die 
Größen von Kreisbogen angeben. 
Übungen. 
1. Warum konnte bei der Bestimmung des zu der Kurve y = —= * gehörigen 
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Flächeninhalts (s. Nummer 3, S. 34) nicht von vorneherein a auch gleich 1 
gesetzt werden, obschon doch die hiermit bestimmte unbeschränkte Fläche einen 
endlichen Inhalt besitzt? 
2. Warum müssen bei der Abschätzung der rechten Seite der Gleichung (12), 
S. 39, eine gewisse Anzahl von Anfangsnummern dieser Folge außer Betracht 
bleiben (S. 40 oben)? 
Siebenter Abschnitt. 
Zahlenmengen. 
1. Wenn wir bis jetzt von unendlich vielen Zahlen sprachen, so han 
delte es sich stets um sogenannte Zahlenfolgen z 1} z^, ..., z n , ... Es ist 
aber wichtig, festzustellen, daß nicht jede willkürlich herausgegriffene 
Menge von unendlich vielen Zahlen eine Zahlenfolge zu sein braucht. 
Dazu wäre doch nötig, daß man die einzelnen Elemente der herausgegrif 
fenen Menge — wie ja der Name „Folge“ besagt — in eine bestimmte 
Reihenfolge von der Art bringen könnte, daß ein bestimmtes als „erstes“ 
(nämlich ein weiteres als „zweites“ (^ 2 ), wieder ein anderes als „drittes“ 
(%) usw. auftritt, und daß hierdurch aber auch sämtliche Elemente 
jener Menge erschöpft werden. Man nennt diese Bildung einer solchen 
Reihenfolge die Abzählung der Menge. Es kann aber, wie gesagt, keines 
wegs jede unendliche Zahlenmenge abgezählt werden. 
2. Hierzu ein Beispiel. Wir nehmen sämtliche zwischen 0 und 1 ge 
legene Zahlen. Die Null und die Eins seihst wollen wir uns dabei weg 
gelassen denken, obwohl sich am Ergebnis natürlich nichts ändert, wenn 
man sie hinzufügt. Das sind unendlich viele, aber sie können nicht in die 
Form einer Zahlenfolge gebracht werden. Wir denken uns jede Zahl der 
fraglichen Menge durch einen Dezimalbruch dargestellt. Wir beachten 
dabei noch, daß im Falle eines endlichen Dezimalbruches dieser durch 
Zufügen von lauter Nullen äußerlich in einen unendlichen verwandelt 
werden kann, so daß wir stets unendliche Dezimalbrüche vor uns haben. 
Allerdings kann ein endlicher Dezimalbruch auch dadurch in einen un 
endlichen umgestaltet werden, daß man seine letzte Ziffer um eine Ein 
heit erniedrigt und dann lauter Neunen anhängt. Um diese Doppeldeutig 
keit zu vermeiden, wollen wir festsetzen, daß wir uns einen endlichen 
Dezimalbruch stets nur auf die erste Weise in Form eines unendlichen 
geschrieben denken.