44 
7. Zahlenmengen 
Seitherige — von Nummer 3 des zweiten Abschnitts, S. 6, an — auf diesen 
(für Folgen ausgesprochenen) Satz gegründet. Man vergleiche etwa Num 
mer 5 jenes Abschnitts, S. 8, auf der die Notwendigkeit des in Nummer 9 
desselben Abschnitts, S. 11, ausgesprochenen Kennzeichens für die Konver 
genz einer Folge beruhte. Auf diesem Teil des Kennzeichens fußten aber 
wieder die Beweise des fünften Abschnitts über das Rechnen mit Folgen, 
S.23, usw. Dies ganze Gebäude, das die seitherigen und zukünftigen Flächen 
inhaltsbestimmungen trägt, wollen wir jetzt sicherer und von der Anschau 
ung unabhängiger begründen. Wir erreichen das dadurch, daß wir ein 
Verfahren angeben, nach welchem wir in jedem Falle einen Häufungs 
punkt der gegebenen Menge finden können; wir werden unmittelbar eine 
Zahl als unendlichen Dezimalbruch konstruieren, die sicher einen solchen 
Häufungspunkt darstellen muß. Das Konstruktionsverfahren geht so 
vor sich: 
Unsere Menge M liege ganz innerhalb der endlichen Strecke s auf der 
Zahlengeraden g. Wir betrachten auf g die Strecken, die von zwei aufein 
anderfolgenden positiven oder negativen ganzen Zahlen oder der Null be- 
-1 0 +1 +2 h . +\3 +1 +S +6 
Fig. 32. 
grenzt werden, und darunter insbesondere diejenigen, die Punkte mit s 
gemeinsam haben (Fig. 32). In mindestens einer derselben, etwa t 0 , müssen 
dann unendlich viele Punkte von M liegen. Denn lägen in jeder nur end 
lich viele, so wären auch auf ganz s nur endlich viele vorhanden. Jetzt 
teilen wir t 0 in 10 gleiche Teile, die wir uns von links nach rechts mit 
den Ziffern 0 bis 9 numeriert denken. Dann müssen sich in mindestens 
einer dieser Teilstrecken, etwa t l7 wobei G die der Teilstrecke zugehörige 
Ziffer sein soll, aus demselben Grunde wie vorher wieder unendlich viele 
Punkte von M befinden. G wird erneut in 10 gleiche Teile geteilt, die wie 
eben mit Nummern zu versehen sind, und auch in mindestens einem dieser 
kleineren Teile mit der Ziffer t 2 liegen unendlich viele Punkte von M. 
So können wir unbegrenzt fortfahren. Die Folge der Strecken t 0 , G> G> 
. . ., t n , ... zieht sich auf einen Punkt h zusammen, dessen zugehörige 
Zahl wir sofort durch einen unendlichen Dezimalbruch darstellen können. 
Zu diesem Zweck nehmen wir zunächst an, daß t 0 rechts vom Nullpunkt 
der Geraden g liege. Dann geben wir der Strecke t 0 die positive ganze 
Zahl oder die Null ihres linken Endpunktes als Nummer und setzen diese 
Zahl t 0 vor den Beistrich des Dezimalbruchs. Seine nach dem Beistrich 
stehenden Ziffern seien einfach die Zahlen G> t 2 , ... Der so entstehende 
unendliche Dezimalbruch stellt offenbar gerade die Zahl h dar. Denn die 
Entfernung des Punktes h vom Nullpunkt setzt sich zusammen aus t 0 
Einheiten, aus G Zehnteln, aus t 2 Hundertsteln usw.