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Wir behaupten nun, daß h Häufungspunkt von M ist, so daß wir damit 
die Existenz eines solchen konstruktiv nachgewiesen haben. Denken wir 
uns nämlich eine zu h gehörige «-Strecke, so kriecht, wie klein « auch 
gewählt sei, von den Strecken t n , deren Längen ja mit wachsendem n gegen 
Null konvergieren, und die alle den Punkt h enthalten, eine, etwa die mit 
der Nummer 2V, schließlich ganz in die £-Strecke hinein (Fig. 33). Damit 
liegt diese (und dann erst recht jede folgende) ganz in der s-Strecke, und 
da sie nach Konstruktion unendlich viele Punkte von M und mithin min 
destens einen von h verschiedenen Punkt von M enthält, gilt das gleiche 
für die «-Strecke. Also ist h tatsächlich Häufungspunkt der Punkte von M. 
Liegt t 0 links vom Nullpunkt, und wird der linke Endpunkt von t 0 
durch die negative ganze Zahl t 0 gegeben, so denken wir uns zunächst M 
und s auf g um die Strecke t 0 nach rechts verschoben, und dann die 
vorher angegebene Konstruktion durchgeführt. So erhalten wir einen Häu- 
ike s auf der 
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fungspunkt h, und von dem zugehörigen Dezimalbruch müssen wir noch 
t 0 subtrahieren, um denjenigen Dezimalbruch zu bekommen, welcher den 
Häufungspunkt der gegebenen Menge M darstellt. 
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Es besteht daher stets der Satz: Jede beschränkte Menge von unendlich 
vielen verschiedenen Punkten besitzt mindestens einen Häufimgspunkt. 
6. Wir betrachten irgendeinen solchen Häufungspunkt h einer aus lauter 
verschiedenen Punkten bestehenden beschränkten unendlichen Menge M. 
Dann sehen wir leicht, daß aus M stets unendlich viele Punkte heraus- 
gegriffen werden können, die eine Folge bilden und gerade gegen h kon 
vergieren. Diese Bemerkung wird uns später gelegentlich nützlich sein. 
Zur konstruktiven Ermittlung jener Teilfolge von M nehme man eine be 
liebige zu h gehörige «-Strecke, innerhalb deren mindestens ein von li 
verschiedener Punkt z von M liegen muß. Man fasse weiter eine kleinere 
«'-Strecke ins Auge, deren halbe Länge «' kleiner als die Entfernung hz 
ist. In dieser muß mindestens ein von h und sicher von z verschiedener 
Punkt z' vonili liegen. Dasselbe führe man mit einer dritten «"- Strecke durch, 
deren halbe Länge «" kleiner als hz' ist. So erhält man einen von z, z' 
und h verschiedenen Punkt z" von M(s. Fig. 8, S. 8). Da man auf diese Weise 
unbegrenzt fortfahren kann, wobei nur noch dafür zu sorgen ist, daß die 
Längen «, «', «", . . . eine Nullfolge bilden, bekommt man eine Teilfolge 
z, z', z", . . . von M, die offenbar nur den einen Häufungspunkt h besitzt. 
7. Lassen wir auch unendliche Zahlenmengen zu, die nicht notwendiger 
weise aus lauter verschiedenen Zahlen bestehen — Folgen dieser 
Art hatten wir früher bereits im zweiten Abschnitt, Nummer 7, S. 10, be 
trachtet —, so können auch hier nur die beiden bereits damals genannten