Die Zahle 
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Gleichzeitige Multiplikation mit n n+1 • (n —1) M+1 liefert 
(n — 1) • n 2n+x 
(21) 
— 2 u + 2 
} 2n + l 
(n 2 — l) n 
-f-1 
Entwickeln wir jetzt (w 2 — l) w+1 (für n ^ 2) nach der binomischen For 
mel, so erhalten wir 
„2 .<.+!>_(* + 1 ). »2 + + 1 ) + 1 ). n .e-.) ± .. . 
= 
rfi 71-f-1 
! ”+ri') 
,2w—2 
CT) 
± 
Die beiden ersten Glieder hierin stimmen mit dem in (21) links stehen 
den Ausdruck überein. Wir wollen nachweisen, daß die übrigen Glieder 
zusammen genommen einen negativen Wert besitzen. Dann ist die rechte 
Seite in (20) wirklich kleiner als die linke, und der Beweis ist geführt. 
Fig. 37. 
Nun nehmen die Zahlen ^ • n 2n ~ 2 , ^ 
monoton 
ab; dies folgt genau so wie in Nummer 2. Es ist also nur noch zu zeigen, 
daß • n 2n ~ 2 < n 2n ist. Dies ergibt sich jedoch sofort aus ^ * W < n 2 
oder n -f 1 < 2n, d. h. 1 < n. Da mithin (von *) • n 2n ~ 2 an) jedesmal 
weniger zugefügt als gerade vorher abgezogen wird, hat die mit — n 2n 
beginnende Summe tatsächlich einen negativen Wert. 
Die Folge (l+—) konvergiert monoton zunehmend, die Folge 
1 + —J konvergiert dagegen monoton abnehmend gegen e. Daher 
liegen sämtliche Punkte der Folge ^1 + — j links von allen Punkten der 
Folge ^1 + (Fig. 37). Nimmt man für ein bestimmtes n den Aus 
druck ^1 -f- ^ als Näherungswert für e, so begeht man hiernach offenbar 
einen Fehler, der kleiner als die Differenz 
(1 + ir~ (1 + i) m - (1 + ir (1 + V -1) = V • i 1 + v)“ 
ist. Da nach dem Obigen ^1 + < 4 ist, so ist der genamite Fehler 
sicher kleiner als —. Hiernach müßte man n = 400 wählen, um e bis auf 
n ’ 
einen Fehler von 0,01 genau zu erhalten. Es ist allerdings zu bedenken, 
daß wir den Fehler sehr roh abgeschätzt haben, und daß man demnach 
möglicherweise mit kleineren Werten von n auskommt, wemi man die ge-