Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
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Bezug auf das gegebene von gleichem Inhalt, und zwar stets = 
. J, wo r der Radius des Umkreises, Ii der des 
2 
4 
r 
zweiten Kreises und J der Inhalt des gegebenen Dreiecks. 
Dieser Satz scheint von Sturm gefunden worden zu sein; ver 
gleiche dessen Beweis und den von Querret in Gergonne’s Annalen, 
Band 14, Seite 280 und 286 (vgl. auch Band 15, Seite 45 und 250). 
Beide Beweise sind noch sehr umständlich und setzen Koordinaten 
theorie voraus; überhaupt giebt es viele analytische Beweise, unter 
andern findet sich ein einfacher in Salmon’s Geometrie der Kegel 
schnitte Artikel 157 D. Elementar-geometrisch hat Steiner den ersten 
Teil des Satzes im ersten Band von Crelle’s Journal Seite 51 und 52 
bewiesen 2 ); der schönste Beweis des ganzen Satzes wurde jedoch 
von Binder im württembergischen Korrespondenz-Blatt für Gelehrten- 
uud Realschulen gegeben (Jahrg. 1882, Seite 138). 
Beim ersten Versuch eines elementar-geometrischen Beweises 
für den genannten Satz, der sich darauf stützte, daß der Satz 
seine Richtigkeit für den Umkreis des Dreiecks hat, also für P = r, 
ergaben sich folgende Relationen am Dreieck: 
82. Fällt man von einem Punkt des Umkreises eines Dreiecks 
Senkrechte x,y,z auf die Seiten, so ist, wenn P in dem Bogen 
über der Seite c liegt: 
b 
y 
c 
a 
x 
Beweis: Die Fußpunkte X,Y,Z liegen auf einer Geraden. Fälle 
von P auf diese die Senkrechte p. Dann ist nach dem Satz des Ptolemaios: 
AP . Bö + BP . AG — AB . PC oder 
a.AP-\-b. BP — C.PC. Mitp multipliziert: 
a . AP . p -f- b . BP .p — c. PC .p\ aber 
im A PYZ, wo AP Durchmesser und p 
Höhe, ist p) . AP =z yz etc., also a . yz -f- 
7 b . xz ■= c . xy, oder durch xyz divid.: 
b c 
y ~ z 
a 
H- 
x 
83. Fällt man von einem beliebigen Punkt P Senkrechte auf 
1) Englische Ausgabe (6. Auflage, 1879), Artikel 125. 
2) vgl. auch Band 2, Seite 263 und in Band 21 die Abhandlung über 
den Krümmungsschwerpunkt.