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Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
die Seiten eines Dreiecks, deren Werte x,y,z seiu mögen, so ist: 
J 
X . sin OL + y . sin ß —f- s . sin y 
also für jeden Punkt gleich. 
Beweis: Es ist ax 
a 
b 
* + 27 ■ V + 
2r 
J 
X . sin OL -f- IJ . sin ß -f- Z . sin Y 
Fällt P mit A zusammen, so ist x =. /¿, y — z = 0; also 
h . sina = ^ — li' . sinß = h" . siny; es folgt hieraus 
— — — bc; also bc ~ 2rh. 
sm öl 2 
84. Fällt man vom Mittelpunkt des Umkreises 
eines Dreiecks Senkrechte Z 15 Z 2 , Z 3 auf die Seiten 
eines Dreiecks, so ist immer: 
Iia.33. 
a . l 2 l 3 b . I J.J -j- c . IJ 2 — r . J. 
Beweis: Es seien Ol), OF, OE die Senk 
rechten von 0 auf YZ, ZX, 17. Dann ist: 
a . l 2 l 3 -f- . ZjZ 3 -(- c . = a . OA . OD 
A- b . OB . OF H- c . OE . OC = r . (a . OD A- b . OF 4- 
c . OP) = 4r . A XYZ — r.J. 
85. Fällt man vom Mittelpunkt des Umkreises Senkrechte auf 
die Seiten eines Dreiecks, nemlick l v l 2 , l 3 , ebenso von einem beliebigen 
andern Punkt die Senkrechten #,?/,#, so ist immer : 
a. [l 2 z 4- l 3 y} 4- b. [l x z 4- l 3 x] A~ c. [l 2 x -(- lyy} — */z abc — 2rj. 
Corollarien: Fällt P mit 0 zusammen, so ist x = l y = 
? 2 , z = l 3 und man bekommt 
ci . l 2 l 3 —(— b.lj 3 c.l x l 2 — — abc — rP, 
d. h. den Satz 84. 
Fällt P mit einem Eckpunkt zusammen, so ist x — />, y — z— 0 ; 
also b . l 3 A~ c . l 2 — 2r . j — a . r \ analog 
a • I3 A~ c . = b . r und 
a . l 2 Ar b . l A — c . r \ also 
(b . l 3 4- c . l 2 ) : (a . l 3 A~ c . IJ : (a . l 2 4- 6 . Z x ) = a : b : c. 
86. In jedem Dreieck ist: 
a-. sin 2ß. sin 2y 4~ b-. «sZn 2a. sin 2y 4~ c >2 .sin 2a . siu 23 —^ ^ 
■ * .!• 2