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ONDES PLANES LIMITÉES, A VIBRATIONS CIRCULAIRES, 
ont, d’après l’identité classique fréquemment employée (p. 4 I 7)> la somme de 
leurs carrés égale à —i; et, se trouvant, d’après (b), proportionnelles à Z, m, n, 
„ , , . , / (l.m.n) 
elles égalent respectivement rfc y—i — 
y P 4- ttc 2 4- n 2 
Enfin, le déterminant des neuf éléments (a') donne, après suppression du fac 
teur tp (différent de zéro, comme on vient de le voir), l’équation en Z, m, n : 
(c) 
( Z 2 4- m?4- n 2 — iy — 4g 2 k 2 (l 2 m 2 4- « 2 ) 
En la résolvant par rapport à Z 2 -t- ttc 2 -+- ri 1 ou — > il vient 
(c') ~ ou Z 2 4- ttc 2 4- n- = i 4- 2g 2 k 2 ± 2 gk\Ji-\-g-k-, 
valeurs de P-+- ttc 2 4- n 2 constantes, l’une, supérieure, l’autre inférieure à l’unité, 
de quantités inégales, très petites dans tous les corps (où g est toujours faible) 
et y valant à fort peu près 2gk. 
L’équation (c) rend \fP-\- ttc 2 4- n 2 fonction linéaire de P 4- m 2 + rp — i; et 
les trois fractions (b") deviennent, à la condition de bien choisir le signe du 
symbole imaginaire, 
(c") 
4- /—- 2gk(l,m,n) 
— V P 4~ m~ —i— tc 2 — ï 
Or, en faisant varier avec continuité les rapports mutuels de Z, m, n sans chan 
ger, vu (c), la somme P4- ttc 2 4- n 2 , on voit que ces fractions {b" ), fonctions conti 
nues à dénominateur essentiellement positif, ne s’annulent jamais à la fois; de sorte 
que le signe de ± y/— i y est toujours le même. Or, si l’on fait, par exemple, 
m — o, n = o, l > o, <|i, cpj, tp 2 sont nuis, 4q et —t|r 2 valent 'igkl \J— i, enfin,®, 
y v ijq égalent P—i. Et l’on reconnaît immédiatement que les équations (y), (S) 
(p. 474 et 47^) permettent de prendre, à des facteurs constants près, 
X = O, pi = P — 1, v = — igkl \/ — 1, 
V = 0, p.' = P—1, v' = 2gkl\J—1; 
d’où 
p.v' — vp.' = 4 gkl ( P — 1) \J— 1, 
et aussi, en tenant finalement compte de (c), 
Tv’X'h— p.p/4- vv' = ( P— i) 2 + 4 g 2 k 2 P = 2 ( P— i)\ 
Le premier rapport (b") est donc alors \J—1 ce qui montre qu’il faut 
adopter exclusivement, dans (c"), le signe supérieur. 
D’après (c), la célérité a a la valeur absolue du rapport constant de 2gk à 
Z 2 4- ttc 2 -1-tc 2 —1, rapport positif pour la vibration circulaire la plus lente, négatif 
pour la plus rapide, si du moins g est >0. Les trois fractions (b”) vaudront 
donc ± w V^7(Z, 7tc, zi), le signe supérieur se rapportant, pour g > 0, à la vibra 
tion circulaire lente, le signe inférieur, à l’autre; et nous aurons les trois for 
mules, indispensables ci-après : 
— vp.', vX'— Xv', Xp/ — p.X') =± w \J— 1 (XX'4- pqi/4- vv') ( Z, m, n). 
( d ) ( p-v'