PERPENDICULAIRES CONCOURANTES AUX CÔTÉS D’UN TRIANGLE 43 
47. On prend le symétrique A'B'C' d’un triangle ABC par 
rapport à une droite de son plan. Démontrer que les perpendiculaires 
abaissées des points A', B', C' sur les côtés BC, CA, AB respectivement 
sont concourantes. 
Soient a, p, y les projections des points A', B', C'respectivement 
A 
sur les côtés BC, CA, AB. Tout 
revient à démontrer que l’on a 
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/ 1 > 
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• 
l\ 
1 -, 
(1) Ba 2 — Ca 2 + Cp 2 ' 
— Âp 2 + ây 2 — By 2 = °- 
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. N N 
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1 i 
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Les triangles rectangles BaA' 
et CaA' nous donnent aisément 
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Bï 2 — F? == BÂ 72 — CÂ 72 ; 
b'V-A 
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v 1 ' / 
\Vl/ yS 
A' 
» 
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on a de même, par permutation 
circulaire, 
cp 2 — ÂP 2 == CB 72 — AB 72 , 
âÿ 2 — By 2 = âc 72 — bc 72 . 
le second 
membre 
Ajoutons membre à membre; 
est nul, car, par suite de la symétrie, on a 
BA' 
= AB', 
CA' = AC', CB' = BC' ; 
par suite, la relation (1) est établie. 
48. Des sommets d'un triangle ABC on abaisse les perpendicu 
laires AA', BB', CC' sur une droite quelconque A de son plan. Démon 
trer que les perpendiculaires menées 
A respectivement des points A', B', C' sur 
les côtés BC, CA, AB sont concourantes. 
Soient a, p, y les pieds de ces per 
pendiculaires; le triangle B a A' 
nous donne 
B a 2 == A'B 2 — A'a 2 , 
et, en remplaçant A'B 2 par 
ÂTB^ + BB 72 , 
Bjx 2 = ATT 2 + BB 72 — ÎVôc 2 . 
On a de même, dans le triangle rectangle CaA',