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Ellipse. 
P' schnitte, und man denkt sich so wie durch 
kl und P auch durch P' eine zur Haupt 
achse Senkrechte gelegt, welche diese in 
LP, die Kreistangente QT aber in Q' 
schneiden möge, so wäre auch 
M' Q': M' F = a: b. 
Daraus würde aber folgen, daß Q' auch 
auf dem über dem Durchmessers^. kon 
struierten Kreis läge, was unmöglich ist, 
weil TQ eine Tangente ist. Mithin ist 
unsre Annahme eines zweiten Ellipsen 
punkts Q' auf TP unzulässig, P ist der 
einzige solche Punkt und TP die Tan 
gente der E. 
Aus dem bei Q rechtwinkeligen Dreieck 
OQT, in welchem MQ die Höhenlinie ist, 
ergibt sich für die Entfernung OT der 
Wert OT — —• 
8) Bezeichnet man den Winkel, den die 
Tangente PT mit der nach rechts ver 
längerten Hauptachse einschließt, mit r, 
so findet man aus dem Dreieck PMT, in 
welchem bei T der Winkel 180°—r vor 
kommt, die Formel 
Mit Benutzung der obigen Formel für 
OT und der Gleichung der E. in 2) er 
hält man hieraus 
9) Errichtet man im Berührungspunkt 
P eine Senkrechte auf der Tangente PT, 
so heißt dieselbe die Normale der E. 
Aus dem Schlußsatz von 6) folgt sofort, 
daß die Normale den Winkel zwischen den 
beiden Leitstrahlen halbiert. 
Da die Normale aus der Tangente 
rechtwinkelig steht, so ist der Winkel ß, den 
die erstere mit der rechten Seite der Haupt 
achse bildet, um 90° kleiner als t, 
ß^=T — 90°, folglich tan ß — 
d- h- tan ß t= *£• 
Mit Benutzung der Gleichung der E. 
in 2) gewinnt man auS dieser Formel 
leicht Ausdrücke für die rechtwinkeligen 
Koordinaten x und y durch den Winkel 
ß, nämlich 
und 
a cosß 
\/ 1 — e 3 sin 3 /i 
a (1 — e 3 ) sin/9 
v/l — e 3 sin 3 # 
Diese Formeln sind für die Betrachtung 
der Form der Erde von Wichtigkeit. Die 
Meridiane der Erde sind nämlich Ellipsen, 
die allerdings einem Kreis sehr nahe kom 
men. Sie sind (so ist wenigstens nach dem 
derzeitigen Stand unsrer Kenntnisse noch 
anzunehmen) sämtlich gleich. Die Neben 
achse, die ihnen allen gemeinsam, ist die 
Erdachse, die Hauptachse ist der Äquator 
durchmesser. Die Normale gibt die Rich 
tung des Lots oder der Schwere im Punkt 
P der Meridianellipse an, und derWinkel ß, 
die Neigung der Schwere gegen die Ebene 
des Äquators, ist gleichbedeutend mit der 
geographischen Breite oder Polhöhe. 
Unsre beiden letzten Formeln drücken 
also die rechtwinkeligen Koordinaten eines 
Punktes der Meridianellipse durch die geo 
graphische Breite aus. 
10) Setzt man den Zirkel in irgend 
einem Punkt auf der Normalen einer E. 
ein, öffnet ihn bis zum Punkt P der E. 
und schlägt einen Kreis, so hat dieser in 
P die Tangente gemein mit der E., und 
man sagt, er berühre dort die E., er sei 
ein Berührungs- oder Tangcntial- 
kreis. Sowie die Tangente, hat auch die 
ser Kreis zwei im Berührungspunkt zu 
sammenfallende Punkte mit de'rE. gemein. 
Damit in Verbindung steht es, daß ein 
solcher Kreis entweder zu beiden Seiten 
von P auf der Innenseite der E. oder zu 
beiden Seiten auf der Außenseite der E. 
(zwischen dieser und der Tangente) liegt; 
vgl. a und b in Fig. 3, wo 6 ein Stück 
der E. ist. Im allgemeinen schneidet aber 
der Berührnngskreis die E noch in zwei 
Punkten. Durch Verschiebung des Mit 
telpunkts kann man es nun dahin brin 
gen, daß der eine dieser beiden Punkte sich 
dem Berührungspunkt P mehr und mehr 
nähert und endlich mit ihm zusammen 
fällt. Im letztern Fall heißt der Kreis der 
Krümmungskreis oder Oskula- 
t i o n s k r e i s, sein Halbmesserder Kr ü m - 
mungShalbmesser, sein Mittelpunkt 
der Krümmungsmittelpunkt. Der 
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