Zentralbewegung. 561 
folgenden Zeitteilchen eine ungleiche Fläche 
vom Leitstrahl überstrichen; es ist demnach 
die überstrichene Fläche nicht mehr pro 
portional der Zeit/ Wir können daraus 
den Schluß ziehen: Wenn die vom Radius 
Vector überstrichene Fläche der Zeit pro 
portional ist, so erfolgt die Bewegung 
infolge einer Zentralkraft. Durch diesen 
Gedankengang wurde Newton von dem 
zweiten Keplerschen Gesetz auf den Satz 
geführt, daß die Bewegung der Planeten 
um die Sonne die Folge einer von der 
letztern ausgehenden Kraft sei. 
Kennt man die Bahn, so läßt sich auch 
das Gesetz finden, nach welchem die Z. 
wirkt, oder, um bestimmter zu sprechen, 
die Beschleunigung (Zunahme der Ge 
schwindigkeit), die sie in jeder Sekunde 
dem bewegten Punkt erteilt. Wir wollen 
dies an dem für astronomische Zwecke ohne 
hin interessantesten Fall, der Planetenbe 
wegung, zeigen. Dabei bedienen wir uns 
der in den Art. Ellipse und Kegel 
schnitte aufgeführten geometrischen Ei 
genschaften dieser Linien. 
Nach dem ersten Keplerschen Gesetz be 
wegen sich die Planeten in Ellipsen, in 
deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 
Wir wollen uns nun denken, 8 sei dieser 
Brennpunkt, 0 A bie große Halbachse und 
P der Ort des Planetenmittelpunkts in 
einem bestimmten Augenblick, PT sei die 
Richtung der Tangente an die Bahn, also 
die Richtung der Bewegung, PH die bis 
zum Schnittpunkt N mit der großen 
Halbachse verlängerte Normale, Winkel 
NT 8 = Denken wir uns nun an P 
den Krümmungskreis gelegt (vgl. Ellipse 
io), so können wir annehmen, daß die 
Bewegung momentan in diesem Kreise 
stattfindet. Bei jeder Kreisbeweguim sucht 
sich aber der bewegte Punkt vom Mittel 
punkt zu entfernen mit einer gewissen 
Kraft, die wir die Zentrifugalkraft (s. d.) 
nennen. Die Beschleunigung, welche die 
selbe dem Punkt in der Sekunde erteilt, 
ist gleich —, wenn v die Geschwindigkeit 
des Punktes in seiner Bahn und <j den 
Krümmungsradius bedeutet. Letzterer 
hat aber (zufolge Ellipse, S 117) deu 
Wert 
Astronomie. 
NP 
COS 3 1fj ' 
die Beschleunigung der Zentrifugalkraft, 
die den Planeten in der Richtung NP 
nach der Außenseite der Bahn zu treiben 
sucht, ist hiernach 
V 3 V 2 . COS 3 !/' 
— 7 NP 
Die Größe v-cos ip können wir aber an 
ders ausdrücken. Zerlegen wir nämlich die 
in der Richtung PT stattfindende Ge 
schwindigkeit nach dem Satz vom Par 
allelogramm der Bewegungen in eine in 
der Richtung des Leitstrahls liegende Kom 
ponente PV und in eine dazu senkrechte 
PH, so ist der Winkel UPT — u-, und 
daher ist v-cos’l> = PU die zum Radius 
Vector 8P rechtwinkelige Komponente der 
Geschwindigkeit. Multipliziert man diese 
mit der Halste des Radius Vector SP = r, 
so erhält man die Fläche, welche der Ra 
dius Vector in einer Sekunde überstreicht, 
die sogen. Flächengeschwindigkeit. 
Den Wert derselben kann mau aber nicht 
bloß durch die Formel 
Y r • v • cos H, 
sondern auch noch auf folgende Art fin 
den. Bedeutet u die Umlaufszeit des Pla 
neten (in Sekunden), so wissen wir, daß 
in dieser Zeit der Radius Vector die ganze 
Ellipsenfläcbe überstreicht. Diese hat nun 
(vgl. Ellipse 12) den Wert ab n, und mit 
hin ist die Flächengeschwindigkeit gleich 
Setzt man beide Werte der Flächenge 
schwindigkeit einander gleich, so ergibt sich 
v cos <f> — 2 - a —, 
und mithin hat die Beschleunigung der 
Zentrifugalkraft den Wert 
4 a 3 b 3 7i 3 
1 r 3 u a -NP" 
Nun folgt aus dem zweiten Keplerschen 
Gesetz, daß die Sonne dem Planeten eine 
Beschleunigung in Richtung des Radius 
Vector erteilt, und zwar muh dieselbe n a ch 
der Sonne hin gerichtet sein, die Sonne 
muß anziehend wirken, weil sonst der 
Planet nach der Außenseite der Bahn ginge. 
Ist diese Beschleunigung gleich q x , so kön- 
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