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Dämmerung. 
rizont einen Kreis, welcher mit demletztcrn 
parallel geht, so heißt derselbe der Däm- 
merun^skreis, weil die D. frühmor 
gens begrnnt und abends aufhört, sobald 
der Sonnenmittelpnnkt durch diesen Kreis 
geht. Es ist leicht, den Stundenwinkel der 
Sonne für diesen Moment zu finden. Im 
Art. Höhe ist zur Berechnung der Höhe 
st eines Gestirns aus der Polhöhe <p, der 
Deklination 4 und dem Stundenwinkel t 
die Formel gegeben worden 
8in st — sin P sin cf -(-cos cp cos cf cos t, 
aus welcher linh _ 8in9 , sin( , 
COSt — (1) 
foiflt. COS (p cos d 
Für die bürgerliche D. ist nun st — — 
6V2 0 , also der Tabelle der trigonometrischen 
Funktionen im Art. Trigonometrie 
zufolge sin st — — 0,ii32, und wenn man 
den Stundenwinkel für das Ende der bür 
gerlichen D. mit I" bezeichnet, so erhält 
man demnach 
— 0,1132 +sin <0 • sin d 
COS T' = — (2) 
COS tp cos 0 
Für die astronomische D. rechnen wir 
st — —18°, also sin st — — 0,3090, und 
wenn wir den Stundenwinkel der Sonne 
für das Ende dieser D. T" setzen, so ist 
0,3090 +sin <p sinct 
COS T" = — Z - , (3) 
COS (p cos 0 
Für die Polhöhe <p — 42° und die De 
klination 4—12° erhält man beispielsweise 
cosT'=■ 
0,1132 + 0,6691 -0,2079 
0,7431 - 0,9781 
= — 0,3663, 
cosT"= 
0,3090 + 0,6691-0,2079 
0,7431 -0,9781 
=—0,6506. 
Da beide Cosinus negativ, so sind T' 
sowobl als T" größer als 90°, nämlich 
— 180°— 68° 31' —111° 29', 
T"=180°— 49° 25' —130° 35'. 
4) Die D. beginnt abends in dem Augen 
blick, in welchem der obere Sonnenrand 
für das Auge am westlichen Horizont ver 
schwindet. Da uns nun wegen der at 
mosphärischen Strahlenbrechung (vgl. Re 
fraktion) die Gebenstände am Horizont 
um 35 Bogenminuten höher erscheinen, 
als sie wirklich stehen, so steht der obere 
Sonnenrand im Augenblick seines schein 
baren Untergangs bereits 35' unterm Ho 
rizont. Der Mittelpunkt der Sonne steht 
dann noch um den scheinbaren Sonnen 
halbmesser, d. h. um 16' imMittel, tiefer, 
also in der Höhe von 35 -f- 16 = 51' 
unterm Horizont. Will man nun den 
Stundenwinkel T der SonUe für den Au 
genblick des scheinbaren Untergangs haben, 
so muß man in Formel (1) st — — 51', 
also sin st — — 0,oi49, setzen. Dies gibt 
„ 0,0149 + sin w ■ sine) ... 
COS T = ! , (4) 
COS(p • cosci 
und für den obigen Fall <£ —42°, 4—12° 
erhält man 
COS T = — 0,2236, 
wonach r —180°—77° 5' = 102° 55' ist. 
Während der bürgerlichenD. wächst nun 
abends der Stundenwinkel der Sonne von 
T auf T', also um 
T'— T = 111° 29'—102°55'= 8° 34', 
und während der astronomischen D. von 
T auf T", also um 
T"—T= 130°35'—102°55'—27°40'. 
Da nun der Stundenwinkel in einer 
Stunde um 15° wächst, so findet man die 
Dauer der D. in Stunden und Minuten, 
wenn man obige Werte mit 15 dividiert. 
Dies gibt 
für die bürgerliche D. 0 Std. 34,2 Min. 
- - astronomische D.. 1 - 50,6 - 
5) Aus dem Umstand, daß die Sonne 
in der Tropenzone der Erde senkrecht oder 
nahezu senkrecht unter den Horizont hinab 
steigt, in höhern Breiten dagegen sich in 
einer gegen den Horizont geneigten Bahn 
bewegt, erklärt es sich, daß dieD. am Äqua 
tor der Erde am kürzesten ist, während sie 
in höhern Breiten länger dauert. Ja, hier 
kann eö vorkommen, daß die Sonne im 
Lauf der Nacht gar nicht 18° unter den 
Horizont hinabsinkt. In diesem Fall hört 
also während der ganzen Nacht dieD. nicht 
auf, Abend- und Morgendämmerung ver 
schmelzen miteinander. 
Eine leichte Überlegung lehrt uns die 
Bedingung für das gesonderte Auftreten 
einer Morgen- und Abenddämmerung ken 
nen. Die Sonne erreicht ihre tiefste Stel 
lung unter dem Horizont auf der Nord 
seite des Meridians; hier ist sie um die 
Poldistanz 90°—4 unterhalb des Pols, 
und da der Nordpunkt um die Polhöhe <p 
vom Pol absteht, so befindet sich die Sonne 
um den Bogen 90°—4—cp unterhalb 
des Nordpunkts. Dieser Bogen muß nun